Los subgrupos finitos de SL(2,C)

Question

Se pueden escribir libros sobre los subgrupos finitos de $\mathrm{SL}(2,\mathbb C)$ (y su familia inmediata, como los grupos poliédricos...) Estoy a punto de empezar a escribir apuntes para un breve curso sobre ellos y me gustaría incluir referencias a toda la información útil e interesante sobre ellos que sea posible. Dado que aparecen en contextos muy diferentes, y pueden ser vistos desde muchos puntos de vista distintos, estoy seguro de que la variada audiencia de MO sabe muchas cosas sobre ellos que yo no sé.

Así que, a pesar de que esta es una pregunta más o menos canónica demasiado amplia/vaga para MO según el PREGUNTAS FRECUENTES :

¿Puede decirme (o al menos indicarme) todo sobre los subgrupos finitos de $\mathrm{SL}(2,\mathbb C)$ ?

MÁS TARDE: Gracias a todos los que han respondido. Hasta ahora, la información es esencialmente de naturaleza algebraica y geométrica. Ahora me pregunto sobre la combinatoria y esas bestias.

Por ejemplo, es un teorema de Whitney (o tal vez sólo se deduce fácilmente de un teorema de Whitney) que un gráfico plano simple de 3 conexiones con $e$ tiene un grupo de automorfismo de orden máximo $4e$ y que la orden es $4e$ precisamente cuando el gráfico proviene de un poliedro, por lo que el grupo es un grupo poliédrico.

¿Conoce resultados similares?

Answer 1

Esta cuestión está muy relacionada con una de mis relaciones favoritas entre la geometría y la teoría de la representación. Consideremos las álgebras de Lie simples de los siguientes tipos:

• $A_n$
• $D_n$
• $E_6$
• $E_7$
• $E_8$

Entonces estos diagramas de Dynkin corresponden a todos los posibles subgrupos finitos de $SL_2.$ La relación viene dada por clases especiales de singularidades de superficies aisladas conocidas como singularidades kleinianas o de Du Val. Estas surgen de la siguiente manera. Dado un subgrupo finito $G \subset SL_2,$ tenemos una acción de $G$ en $\mathbb{C}^2$ sin más puntos fijos que el origen. Si a continuación observamos el cociente geométrico $\mathbb{C}^2/G$ correspondiente a $G$ -polinomios invariantes en $\mathbb{C}[x,y],$ está generada por tres polinomios homogéneos $f_1, f_2, f_3$ que están relacionados por un polinomio homogéneo ponderado $g$ de grado 3, tal que $g(f_1, f_2, f_3) = 0.$ A continuación, podemos identificar $\mathbb{C}^2/G$ con la hipersuperficie $\{ g = 0 \} \subset \mathbb{C}^3.$

Las hipersuperficies resultantes tienen las siguientes ecuaciones (con el subgrupo correspondiente):

• $A_n: x^{n+1} + y^2 + z^2$ (cíclico)
• $D_n: x^{n-1} + xy^2 + z^2$ (diedro)
• $E_6: x^4 + y^3 + z^2$ (tetraédrica)
• $E_7: x^3y + y^3 + z^2$ (octaédrica)
• $E_8: x^5 + y^3 + z^2$ (icosaédrica)

El diagrama de Dynkin entra como sigue. Cada una de estas superficies puede resolverse mediante un número finito de expansiones, y la fibra excepcional en la resolución consistirá en una copia de $\mathbb{P}^1$ para cada nodo del diagrama de Dynkin, cada uno de los cuales está unido al punto de otro $\mathbb{P}^1$ si hay una arista correspondiente en el diagrama de Dynkin que conecta los dos nodos (por lo que en el caso cíclico, es sólo una cadena de $\mathbb{P}^1$ 's).

Por último, existe una clara conexión entre esto y la teoría de Springer que es la siguiente. Sea $\mathcal{N}$ denota el cono nilpotente de un álgebra de Lie de uno de los tipos mencionados anteriormente, y sea $\mathcal{O}$ denotan la órbita subregular. Entonces $\mathcal{O}$ tiene codimensión dos en $\mathcal{N}$ y, por tanto, el correspondiente corte de Kostant/Slodowy es una superficie en $\mathcal{N}.$ Resulta entonces que esta superficie es una de las singularidades de superficie enumeradas anteriormente, y que la correspondiente fibra de Springer de un elemento subregular es isomorfa a la fibra excepcional en la resolución de la superficie mencionada anteriormente. Así que la resolución de Springer codifica la información de las sucesivas explosiones de estas superficies.

Algunas buenas referencias:

Milnor, Puntos singulares de hipersuperficies complejas

Dimca, Singularidades y topología de hipersuperficies

Slodowy, Singularidades simples y grupos algebraicos simples

Answer 2

Dolgachev tiene un note sobre la correspondencia de McKay en dimensión $2$ . Tiene un montón de cosas interesantes sobre los subgrupos de $SL(2,\mathbb C)$ , sobre todo desde el punto de vista de la geometría algebraica.

Answer 3

Parece que sólo QQJ aludió a esto, pero vale la pena recordar que cualquier subgrupo finito $G$ de $SL(2,C)$ puede hacerse para preservar un producto interno hermitiano en $C^2$ por promedio, por lo que también es un subgrupo finito de $SU(2)$ lo que hace que cubra doblemente un subgrupo finito de rotaciones de $R^3$ a través de $SU(2)\to SO(3)$ . Así se obtienen las versiones "binarias" de los subgrupos finitos de $SO(3)$ (por ejemplo, el grupo icosaédrico binario, el grupo tetraédrico binario, los otros grupos platónicos, los grupos diédricos binarios,...) y como $SU(2)$ es la 3-esfera la acción de traslación exhibe estos como grupos fundamentales de 3-manifolds, es decir $S^3/G$ , cubierto universalmente por $S^3$ . Estas 3 variedades son los enlaces de las singularidades descritas en la respuesta de Mike Skirvin, y los correspondientes diagramas de Dynkin dan diagramas de plomada=Diagrama de Kirby para las 4 variedades lisas que se obtienen al resolver las singularidades con límite estas 3 variedades.

Answer 4

Me gusta el tratamiento de Thurston en su libro . La idea es que cualquier subgrupo finito $G< SU(2) \to SO(3)$ da lugar a un orbifold $S^2/G$ . En primer lugar, se clasifican los posibles orbifolds cotizados, y luego se calculan los posibles subgrupos de preimagen en $SU(2)$ . El ejercicio 4.4.6 ofrece un argumento directo (al menos para $SO(3)$ ). El argumento más largo, pero más conceptual, utilizando orbifolds no aparece en el libro publicado, pero está en la sección 5.5 de un borrador preliminar (presumiblemente esto será parte del material que aparecerá en el volumen 2), y también aparece en el Teorema 13.3.6 de Notas de Thurston . La clasificación de orbifolds esféricos y euclidianos de 2 dimensiones es un ejercicio satisfactorio, que puede ser realizado por estudiantes de grado con muy poca formación matemática: ver las notas del curso "La geometría y la imaginación" .

Answer 5

La correspondencia de McKay mencionada en las respuestas de Hailong y Mike se extiende a los módulos máximos de Cohen-Macaulay sobre los anillos invariantes $R=k[x,y]^G$ , donde $G$ es un subgrupo finito de $GL(2,k)$ (con $|G|$ invertible en $k$ ). En particular (Herzog), todos estos subrings tienen sólo un número finito de módulos MCM indecomponibles no isomorfos, es decir, tienen tipo CM finito. Lo contrario es cierto en la característica cero -- que un dominio normal completo bidimensional sobre $\mathbb{C}$ de tipo CM finito es un anillo de invariantes -- por un resultado de Auslander.

El caso $G \subset SL(2,k)$ corresponde a $R$ siendo Gorenstein, y en particular una hipersuperficie -- concretamente las hipersuperficies ADE enumeradas en la respuesta de Mike. La correspondencia entre las representaciones irreducibles de $G$ y los componentes de la fibra excepcional se extienden para incluir los módulos MCM irreducibles, y el carcaj de McKay (también conocido como diagrama de Dynkin) es el mismo que el carcaj estable de Auslander-Reiten. Los módulos están directamente conectados a los irreductibles por Auslander, y directamente conectados a los componentes de la fibra por Gonzales-Sprinberg--Verdier y Artin--Verdier, extendidos al caso no-Gorenstein por Esnault y Wunram.

La mayor parte de esto se encuentra en el actual proyecto de mis notas con Roger Wiegand sobre los módulos MCM (Ignora la geometría del capítulo 5: está plagada de errores y la estoy reescribiendo. O bien, puedes señalar los errores de los que aún no me he dado cuenta). La cuestión de qué ocurre con la correspondencia Auslander-Reiten-McKay para $G \not\subset SL(2)$ se aborda en algunos trabajos recientes de Iyama y Wemyss. (Sólo se obtienen algunos de los MCM indescomponibles, los llamados especiales).