¿Qué es exactamente una integral de línea?

Question

Como ocurre en muchos cursos de matemáticas, se aprende un tema sin aprender realmente lo que se hace. En mi caso, se trata de las integrales de línea. Puedo hacerlas bien, sólo que nunca aprendí realmente lo que estaba haciendo exactamente. ¿Puede alguien darme (en términos sencillos, algo extremadamente básico) una buena definición y un ejemplo de lo que realmente son las integrales de línea evaluando y por qué lo hacemos?

Gracias

Answer 1

Desde mi punto de vista, el concepto de línea ( curva , camino ) integral no es muy diferente del concepto de integral de Riemann unidimensional regular (definida).

Una forma de interpretar la integral de Riemann es percibirla como el área bajo la curva. Muy a menudo la integral de Riemann se introduce a través de Sumas de Riemann que juega bien con su interpretación de "área bajo la curva".

Puedes imaginar el proceso de cálculo de la integral definida de una función (WLOG positiva) $f: \Bbb R \to \Bbb R$ en el intervalo $[a,b]\ni \Bbb R$ mediante sumas de Riemann como un proceso iterativo: partiendo de $a$ y dando pasos infinitesimales hacia $b$ multiplicamos la longitud del paso por el valor de $f$ en este intervalo. Básicamente, en cada paso calculamos el área an de un rectángulo infinitesimalmente pequeño restringido por el valor $f$ desde arriba, y por el $x$ eje desde abajo. Luego sumamos estas pequeñas áreas rectangulares sobre todo el $[a,b]$ y así aproximar el área total bajo $f$ : [

Del mismo modo, se puede definir integral de la trayectoria de $f$ sobre una curva suave $C$ mediante sumas de Riemann. El proceso de construcción es simplemente idéntico: partimos de un lado de la curva y damos pasos infinitamente pequeños hacia el otro. En cada paso consideramos el rectángulo delimitado por $f$ desde arriba y por $C$ desde abajo. Dentro de cada paso, la parte de la "base del rectángulo" de $C$ es, esencialmente, recta, por lo que podemos calcular el área del rectángulo igual que en el caso de la integral definida sobre una línea recta. La suma de las áreas de todos los rectángulos nos dará el "área" bajo la función $f$ en este camino.

En esencia, se puede decir que la integral de línea de $f$ sobre la curva $C$ nos muestra el área que estaría restringida por $f$ si "enderezamos" y "estiramos" la curva del dominio $C$ en una línea recta.