¿Por qué medidas de probabilidad en teoría ergódica?

Question

Yo sólo tenía una mirada a Walters libro de introducción a la ergodic theory y ha llamado la atención que el libro siempre se pega a la probabilidad de medidas. ¿Por qué se da el caso de que ergodic theory considera principalmente la probabilidad de medidas? Es que el importante teorema, por ejemplo Birkhoff del ergodic teorema es válido no sólo para la probabilidad de medidas? O es debido a la relación con los conceptos de la termodinámica, tales como la entropía?

También me gustaría preguntar una duda; esta un poco más técnico. La teoría de la probabilidad siempre trabaja con la Borel sigma álgebra; es rara vez el caso de que el sigma álgebra es ampliada a la Lebesgue sigma álgebra para el caso de los números reales(para la definición de las variables aleatorias) o el círculo unidad, por ejemplo. En ergodic theory, tenemos que ir por esta restricción, o no? Es decir, cuando se ignoran los conjuntos de medida cero, tenemos que los subconjuntos de medida cero son medibles?

Answer 1

La pregunta no es realmente acerca de la probabilidad de los espacios, se trata de finito de medida. Generalmente la teoría clásica ergodic theory (por clásico me refiero a medida finita espacios) se desarrolla en la probabilidad de espacios, pero también funciona en cualquier finito medir los espacios, acaba de tomar la medida normalizada y todo funciona bien. Este hyppotesis es realmente necesario, algunos teoremas de doens realmente no funciona en espacios que no tiene medida finita, por ejemplo, Poincarré Reccurence Thm no es cierto si se abre esta posibilidad. (Acaba de tomar la transformación definida en la recta real por $T(x)=x+1$. Es la medida de preservación pero no recurrentes.)

Específicamente en el Birkhoff Thm, es todavía válida en $\sigma$-finito espacios pero no te da mucha información sobre el límite. De hecho, la Birkhoff' suma converge a 0.

Pero hay un bonito teoría va en $\sigma$-finito espacios con plena medida el infinito. En realidad hay un buen libro por Aaronson infinitos ergodic theory y algunas realmente buenas notas por Zweimüller. Las cosas aquí chage un poco, por ejemplo, no tiene la propiedad dada por Poincarré Recurrencia (tienes que pedir como una definición).Algunos de los resultados de tratar de oportunidad de la forma de Birkhoff suma para obtener información adicional y puede ser aplicado para el cálculo de las Cadenas de Markov. Otro buen ejemplo de que fue objeto de estudio reciente es el de Boole y de la Transformación del es deffined por \begin{eqnarray*} B: \mathbb{R} &\rightarrow& \mathbb{R} \\ x &\mapsto& \dfrac{x^2-1}{x} \end{eqnarray*}

No sé si yo me he hecho muy claro, pero yo recomiendo los textos. Usted debe intentarlo, ofrece esta teoría y busque la respuesta de su tipo de pregunta.

Aaronson, J. - Introducción a la Infinita Ergodic Theory. Matemática Encuestas y Monografías, AMS, 1997.

Zweimüller, R. - Surrey Notas sobre el Infinito Ergodic Theory. Usted puede obtener aquí