¿Qué variedades topológicas para usted?

Question

En esta pregunta a diferentes personas entienden cosas diferentes cuando se habla de topológica de los colectores. Algunos argumentaron que ellos tienen que ser Hausdorff, algunos que tienen que ser de segunda contables y algunos, a la vez.

Cuando yo estudiaba, mi maestro nos mostró ejemplos de no-Hausdorff (la línea con dos orígenes) y no-segundo contables (la larga cola) colectores. Para mí, topológico, el colector es un localmente Euclídeo espacio topológico.

¿Cuáles son las diferentes definiciones de topológico, colector sabes? De qué depende? Lo que el autor de leer cuando has estudiado? ¿Quién fue tu maestro?

EDIT: Lo de las propiedades topológicas colectores de si los definimos como segunda contables y de Hausdorff que no tienen si son sólo localmente Euclídeo?

Answer 1

Hausdorffness es una condición necesaria para el continuo real de las funciones con valores de puntos separados. Si continua con un valor real de las funciones no puntos separados en el espacio, usted está tratando con un extraño espacio (que, en particular, no incrustar en $\mathbb{R}^n$). Por supuesto extraño espacios existen, pero es más difícil de probar agradable teoremas acerca de ellos.

Como Marca Schwarzmann dice en los comentarios, cualquier colector que se incrusta en $\mathbb{R}^n$ es necesariamente tanto Hausdorff y la segunda-contables.

También es común ver a paracompactness como un estado, ya que esto es equivalente (en presencia de los otros axiomas) para ambos metrizability y la existencia de particiones de la unidad, que entiendo que ser bastante útil.