Calcular

Question

Calcular %#% $ #%

Por supuesto tenemos %#% $ #%

Creo que en primer lugar debo calcular el $$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx$ pero no tengo idea.

Answer 1

Esta integral se puede evaluar usando el teorema del residuo. El integrando tiene polos en $x=\pm i$; Si cerramos con un contorno en el plano medio superior, entonces nos necesitamos sólo preocupa el polo en $x=i$. La integral es, por tanto

$$i 2 \pi \left [\frac{d}{dx} \frac{x^2}{(x+i)^2} \right ]_{x=i} = i 2 \pi\left [\frac{i 2 x}{(x+i)^3} \right ]_{x=i} = i 2 \pi \frac{-i}{4} = \frac{\pi}{2}$$

Answer 2

Como el denominador contiene $x^2+1$ ponemos $x=\tan y\implies dx=\sec^2ydy$

$x^2-1$ $x\ge1$ Necesitamos poner $x=\sec y$

y $1-x^2$ $x\le1$ tenemos que poner $x=\sin y$

$$\implies \int\frac{x^2dx}{(x^2+1)^2}=\int\frac{\tan^2y\sec^2ydy}{\sec^4y}=\int\sin^2ydy=\frac12\int(1-\cos2y)dy=\frac{y}2-\frac{\sin2y}4+C$$

Si se tratara de integral indefinida, tenemos que reemplazar trasera $y$ $x$

$y=\arctan x$ and $\sin2y=\frac{2\tan y}{1+\tan^2y}=\frac{2x}{1+x^2}$

Integral definida, $x=0,y=\arctan 0=0$ y $x=\infty,y=\arctan \infty=\frac\pi2$

Así, la integral definida requiere será %#% $ #%

Answer 3

Answer 4

$$F(a)=\int-\frac{1}{1+ax^2}dx=-\frac{\arctan(\sqrt{a}x)}{\sqrt a}+c$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty}-\frac{1}{1+ax^2}dx=-\frac{\pi}{\sqrt a}$$

así tome la derivaitve $-\frac{\pi}{\sqrt a}$ con respecto a los $"a"$ entonces puso una = 1 entonces

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)^2}dx=\frac{\pi}{2}$$

Answer 5

SUGERENCIA:

$$I=\int\frac{x^2dx}{(x^2+1)^2}=\int x\cdot \frac x{(x^2+1)^2}dx$$

Integración por partes, $$I=x\int \frac x{(x^2+1)^2}dx-\int\left(\frac{d(x)}{dx}\cdot \frac x{(x^2+1)^2}dx\right)dx$ $

$$\text{As }\int \frac x{(x^2+1)^2}dx=\frac12\int\frac{d(x^2+1)}{(x^2+1)^2}=-\frac1{2(x^2+1)}$$

$$I=-x\cdot\frac1{2(x^2+1)}+\int \frac1{2(x^2+1)}dx=-\frac x{2(x^2+1)}+\frac{\arctan x}2+C $$

¿Lo puede tomar desde aquí?