No necesitamos que el axioma de elección. Podemos escribir un ideal maximal.
En primer lugar, se observa que el $R$ contables: Por cada monic $p \in \mathbb{Z}[x]$ deje $V(p)$ ser el conjunto de sus raíces complejas. Tiene una canónica de la enumeración, cuando ordenamos las raíces mediante la orden lexicographic en $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$. Para cada $n \geq 1$ el conjunto de estos $p$ grado $n$ se identifica con $\mathbb{Z}^n$ y es, por tanto, contables, con una enumeración explícita. De ello se deduce que también se $\mathcal{O}_n = \cup_{\mathrm{deg}(p)=n} V(p)$ tiene una enumeración explícita y, a continuación, también se $\mathcal{O}= \cup_n \mathcal{O}_n$. Esta enumeración es complicado, pero es computable.
Ahora vamos a $R \neq 0$ ser cualquier contables anillo. Cualquier enumeración $R=\{a_0,a_1,\dotsc\}$ produce un ideal maximal de la siguiente manera: Definir una creciente cadena de adecuada ideales $I_k$ como sigue: vaya a $I_0=0$. Si $I_k$ ya está definido, y $I_k + \langle a_k \rangle$ es adecuada, deje $I_{k+1} = I_k + \langle a_k \rangle$. Si no, llame a $a_k$ malo, y deje $I_{k+1}=I_k$. A continuación, $I:=\cup_k I_k$ es un ideal maximal: Por construcción $1 \notin I$. Ahora vamos a $a_k \in R \setminus I$. A continuación, $a_k$ tiene que ser malo (de lo contrario $a_k \in I_{k+1} \subseteq I$), por lo que el $I_k + \langle a_k \rangle = R$ y por lo tanto $I+\langle a_k \rangle = R$. $\square$
Más en general, vamos a $R$ ser un anillo de $\neq 0$ cuyo conjunto subyacente es bien disponible. Cada enumeración $R=\{a_{\alpha} : \alpha < \kappa\}$ con límite ordinal $\kappa$ produce un ideal maximal (sin usar el axioma de elección): Vamos a $I_0=0$, y construcción de la $I_{\alpha+1}$ $I_{\alpha}$ anterior. Para limitar los ordinales $\lambda<\kappa$, vamos a $I_{\lambda}=\cup_{\alpha<\lambda} I_{\alpha}$. A continuación, $I=\cup_{\alpha<\kappa} I_{\alpha}$ es máxima: Si $\alpha<\kappa$$a_{\alpha} \notin I$, $a_{\alpha}$ es malo (de lo contrario $\alpha+1<\kappa$, $a_{\alpha} \in I_{\alpha+1} \subseteq I$), por lo tanto $I_{\alpha}+\langle a_{\alpha} \rangle = R$$I+\langle a_{\alpha} \rangle = R$.
De manera más general, la prueba de "bien principio de orden $\Rightarrow$ Lema de Zorn" en ZF realidad muestra que cada orden parcial, en el que cada cadena tiene una cota superior, y cuyo conjunto subyacente es bien disponible, tiene un elemento maximal.
