Topología y medidas

Question

Pido disculpas si esta pregunta es un poco ambigua; me pregunto si hay un concepto como el de qué estoy hablando, o si simplemente estoy perdido. Voy a empezar con sólo algunos pensamientos. Me miró un poco, y yo no creo que he encontrado lo que estaba buscando. Ciertamente, mi topología es bastante limitada a un poco de punto-conjunto de topología.

En teoría de la medida, hablamos de una medida $\mu$ "continua" con respecto a $\nu$ si las medidas están relacionadas con la forma adecuada. Es mi entendimiento de que la idea de la continuidad es inseparable de una cierta noción de la topología.

Por otra parte, en el contexto de la medida de Lebesgue $\lambda$, en el contexto de $[0, 1]$, con un típico $\sigma$-álgebra, dicen $\mathcal{B}$, $\lambda$'comportamiento parece estar relacionado con la topología de $[0, 1]$, por ejemplo, si tengo un subconjunto denso de $[0, 1]$, decir $\mathbb{Q}$, entonces podemos definir la medida de un conjunto medible por una secuencia de mejor y mejor cubiertas de los establecidos por intervalos con racional de los extremos. Y esto parece llevar a cabo cualquier medida que se continua con respecto a $\lambda$.

Además, decir que me definen $\mu(F) = \int_{F}g \, \mathrm{d}\lambda$ donde $g$ es un valor no negativo función integrable. Luego si puedo configurar el $M(x) = \mu([a, x])$, $M$ es continua, pero si me puse a $\mu$ a ser algo que no $\lambda$-continuo, es decir, yo no la defina $g$, pero $\mu$ da positivo medida a algunos de singleton, a continuación, $M$ deja de ser continua en $[0, 1]$.

Así que mi pregunta: ¿hay un vínculo entre la "continuidad" de una medida, y la topología de la medida en el espacio? Si es así, ¿hay alguna forma de definir una topología en una medida de espacio por la medida? Por ejemplo, ¿hay alguna manera de decir que un conjunto es "densa" con respecto a la medida, en la forma en que se puede aproximar cualquier medibles del conjunto de medida de Lebesgue en $[0, 1]$ cubriéndolo con intervalos racional de los extremos? Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias!

Answer 1

Me gustaría tratar de impugnar una declaración hecha en otra respuesta:

Para un completo general par de medidas, definitivamente hay nada topológico que se puede decir.

Recordemos que $\mu \ll \nu$ fib para todos los $\epsilon > 0$ existe $\delta>0$ tal que $\mu(F)\leq\epsilon$ siempre $\nu(F) \leq \delta$. Ahora, vamos a dotar a la $\sigma$-álgebra $\mathcal F$ $L^1(\nu)$ pseudometric dado por $d_\nu(A,B):=\nu(A\triangle B)$ donde $A\triangle B = (A\setminus B)\cup(B\setminus A)$ denota la diferencia simétrica entre dos conjuntos. Tenga en cuenta que $d_\nu$ es un pseudometric sólo desde $d_\nu(A,B) =0 $ no implica $A = B$.

Tenga en cuenta que$|\mu(A) - \mu(B)|\leq \mu(A\triangle B)$, de modo que $\mu$ es una función continua (en $\mathcal F)$ con respecto a la pseudometric $d_\nu$, y, por tanto, la correspondiente topología. Creo que es una muy buena justificación para decir que $\mu$ es continua w.r.t. $\nu$.

Si usted está más cómodo en el pensamiento acerca de la L-espacios de funciones, al considerar $\mu$ funcionales como en las funciones dotado $L^1(\nu)$ a distancia.

Answer 2

Creo que la terminología proviene de la Lebesgue caso. Aquí cuando una medida es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, tiene una densidad con respecto a la medida de Lebesgue (su Radon-Nikodym derivados). Esta densidad se llama absolutamente continua de la función. A mi entender, la noción de funciones absolutamente continuas, es el más antiguo noción. Absolutamente funciones continuas en este sentido son necesariamente continuas como las funciones de $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$(o $\mathbb{C}^n$$\mathbb{R}$, incluso).

No me sorprendería si, en el caso de una medida de Radón, que es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, el Radon-Nikodym derivada es continua como una función de la subyacente espacio topológico a $\mathbb{R}$.

De igual manera, supongamos que tenemos una medida de Radón $\mu$, lo que es absolutamente continua con respecto a una medida de Radón $\nu$$\mathbb{R}$, donde podemos equipar $\mathbb{R}$ con una nueva topología. Entonces yo de nuevo no se sorprenda si $\frac{d \mu}{d \nu}$ es una función continua de la subyacente espacio topológico a $\mathbb{R}$ con su nueva topología. A la luz de las definiciones, esto tendría mucho sentido para mí si la nueva topología en $\mathbb{R}$ fueron metrizable.

Para un completo general par de medidas, definitivamente hay nada topológico que se puede decir; hay medidas que no son ni siquiera medidas de Borel, y mucho menos de Radón medidas, con respecto a cualquier topología.

No estoy completamente seguro de qué decir sobre el caso intermedio, donde tenemos dos medidas de Radón en un conjunto $X$, que son, posiblemente, el Radón con respecto a los diferentes topologías.