L $\varphi: R \rightarrow S$ sea un homomorfismo (unital) de anillo. Por tanto, cada $S$ -módulo $M$ tiene también una izquierda $R$ -a través de $\varphi$ y en general tenemos $$ \text{End}_S(M) \subseteq \text{End}_R(M)$$ Mi pregunta es: ¿Existe una condición necesaria y suficiente para que $\varphi$ de forma que la inclusión anterior se convierta en una igualdad para cada $M$ ?
Tenga en cuenta que $\varphi$ es suficiente pero no necesario ya que $\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}$ también tiene la propiedad deseada. Esto me llevó a creer $\varphi$ siendo un epimorfismo en la categoría $\mathsf{Ring}$ es la condición que quiero pero no he podido demostrarlo ni encontrar un contraejemplo.
Edición: Podemos generalizar la situación con $\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}$ : Si $R$ es conmutativa y $D$ es un subconjunto cerrado multiplicativo de $R$ la localización $R \rightarrow D^{-1}R$ tiene la propiedad deseada.
Además, los homomorfismos de anillo con esta propiedad de "endomorfismos iguales" son cerrados por composición. Así que cualquier composición de suryecciones y localizaciones también funciona. Desgraciadamente, hay epimorfismos conmutativos de anillo que no pueden descomponerse en proyecciones y localizaciones, como puede verse ici . (Algún día intentaré resolver algunos de los ejemplos que allí se dan para ver si fallan o no en igualar los endomorfismos)
Edición: En general una condición necesaria es que el centralizador de la imagen $\varphi(R)$ en $S$ debe ser igual al centro de $S$ :
Siempre tenemos $\mathbf{Z}(S) \subseteq \mathbf{C}_{S}(\varphi (R))$ . Para la inclusión inversa, sea $u \in \mathbf{C}_S(\varphi(R))$ . Entonces, siendo M la regular izquierda $S$ -módulo $_S S$ el mapa $\alpha: S \rightarrow S$ dada por $\alpha(s) = us$ se encuentra en $\text{End}_R(M)$ .
Ahora por suposición $\alpha$ también es un $S$ -endomorfismo. Sabemos que $S$ -endomorfismos de $M$ son multiplicaciones por la derecha de elementos de $S$ . Diga $\alpha$ viene dada por la multiplicación por la derecha de $t \in S$ . Entonces evaluando en $1$ obtenemos $u = t$ . Así pues, las multiplicaciones a la izquierda y a la derecha por $u$ coinciden, es decir $u \in \mathbf{Z}(S)$ .
Obsérvese que, según lo anterior, cuando $R$ es conmutativa obtenemos $$\varphi(R) \subseteq \mathbf{C}_S(\varphi(R)) = \mathbf{Z}(S)$$ Es decir $S$ es un $R$ -álgebra vía $\varphi$ .
Así que en este caso la pregunta puede reformularse como "Que $k$ sea un anillo conmutativo y $S$ ser un $k$ -álgebra. ¿Cuándo podemos decir que $k$ -endomorfismos lineales de $S$ -los módulos son siempre $S$ -lineal?" Tal vez esto tenga una respuesta fácil cuando $k$ es un campo.
Una pregunta pertinente (quizá más natural) a la mía es cuándo todos homomorfismos son lo mismo, no sólo endomorfismos. Es decir, ¿podemos encontrar una condición (agradable) sobre $\varphi$ tal que para cada par de $S$ -módulos $M$ y $N$ la inclusión $$\text{Hom}_S(M,N) \subseteq \text{Hom}_R(M,N)$$ se convierte en una igualdad?
