Anillos cuyo espectro es Hausdorff

Question

Deje $A$ ser un anillo conmutativo con $1$ y considerar la topología de Zariski en $\operatorname{Spec}(A)$. Cuando se $\operatorname{Spec}(A)$ ser un espacio de Hausdorff?

Si $A$ ha positiva o infinita dimensión de Krull, esto nunca puede suceder porque hay puntos que serán un subconjunto de su cierre. En la dimensión $0$, cualquier Noetherian anillo también es Artinian y por lo tanto tiene una discreta del espectro, que por lo tanto es Hausdorff.

¿Qué acerca de la no-Noetherian, cero-dimensional caso? Tengo la sospecha de que existen tales anillos con un no-Hausdorff spec, pero no he logrado encontrar un ejemplo.

Answer 1

Para un esquema afín $S=\operatorname{Spec}(A)$ los siguientes son equivalentes:

1) $A$ es cero-dimensional
2) $S$ tiene todos sus puntos cerrado (es decir,$S$$T_1$)
3) $S$ es Hausdorff
4) $S$ es compacto Hausdorff

Si además el anillo de $A$ es noetherian los anteriores son también equivalentes a:
5) $A$ es Artinian
6) $S$ tiene la topología discreta
7) $S$ es finito y tiene la topología discreta

Si además el anillo de $A$ es finitely generado más de un campo $k$ (y por lo tanto noetherian) las anteriores son también equivalentes a:

8) $A$ es algebraico sobre $k$
9) $ \text {dim}_k(A)\lt \infty$
10) $\text {Card}(S)\lt \infty$

Ejemplos de no-noetherian anillos de satisfacciones 1) a 4):
Cualquier infinita producto de cualquiera de los campos $A=\Pi_{i\in I} K_i$ ($I$ infinito)

Ejemplos de noetherian anillos que no son álgebras de más de un campo, pero satisfacer a 1) a 7):
$\mathbb Z/(n)$ $n\gt 1$ y no prime.

Answer 2

En realidad, cualquier Artinian Anillos tienen Hausdorff espectro.