cómo resolver este límite

Question

calcular el límite $ \lim\limits_ {x \to + \infty } \sqrt {x+ \sqrt {x}}- \sqrt {x-1}$

mi intento:

Traté de multiplicar arriba y abajo por el conjugado

$$ \begin {align} \lim_ {x \to + \infty } \sqrt {x+ \sqrt {x}}- \sqrt {x-1}&= \lim_ {x \to + \infty } \left ( \sqrt {x+ \sqrt {x}}- \sqrt {x-1} \right ) \frac { \sqrt {x+ \sqrt {x}}+ \sqrt {x-1}}{ \sqrt {x+ \sqrt {x}}+ \sqrt {x-1}} \\ &= \lim_ {x \to + \infty } \frac { \left ( \sqrt {x+ \sqrt {x}} \right )^2- \left ( \sqrt {x-1} \right )^2}{ \sqrt {x+ \sqrt {x}}+ \sqrt {x-1}} \\ &= \lim_ {x \to + \infty } \frac {(x+ \sqrt {x})-(x-1)}{ \sqrt {x+ \sqrt {x}}+ \sqrt {x-1}} \\ &= \lim_ {x \to + \infty } \frac {1+ \sqrt {x}}{ \sqrt {x+ \sqrt {x}}+ \sqrt {x-1}} \end {align}$$

pero no sé qué puedo hacer después de esto.

Answer 1

Empecemos desde tu última línea: $$ \begin {align} \lim_ {x \to + \infty } \frac {1+ \sqrt {x}}{ \sqrt {x+ \sqrt {x}}+ \sqrt {x-1}} &= \lim \frac { \sqrt x}{ \sqrt x} \frac { \frac {1}{ \sqrt x} + 1}{ \sqrt {1 + \frac {1}{ \sqrt x}} + \sqrt {1 - \frac {1}{ x}}} \\ &= \frac {1}{1 + 1} = \frac {1}{2} \end {align}$$ donde observamos que en todas partes tenemos $ \frac {1}{ \sqrt x}$ esos términos van a $0$ como $x \to \infty $ . El método de factorizar el elemento más grande en el numerador y el denominador muy a menudo funciona. $ \diamondsuit $

Answer 2

Puede observar que, como $x \to \infty $ : $$ \frac {1+ \sqrt {x}}{ \sqrt {x+ \sqrt {x}}+ \sqrt {x-1}} \sim \frac { \sqrt {x} \left (1+ \frac1 { \sqrt {x}} \right )}{ \sqrt {x} \left ( \sqrt {1+ \frac {1}{ \sqrt {x}}} \right )+ \sqrt {x} \left ( \sqrt {1- \frac {1}{x}} \right )} \sim \frac12. $$

Answer 3

$$ \begin {align}(x + x^{1/2})^{1/2} &= x^{1/2} + \frac 12 x^{-1/2}x^{1/2} - \frac 1 8 x^{-3/2}x+ \cdots\\ &= \sqrt x+ \frac 12- \frac1 {8 \sqrt x} + \cdots\\ (x-1)^{1/2} &= \sqrt x - \frac 1{2 \sqrt x}+ \cdots \end {align}$$

por lo tanto $$(x + x^{1/2})^{1/2} - (x-1)^{1/2}= \frac 1 2 + \frac 3{8 \sqrt x} + \cdots \rightarrow \frac 12 \text { as } x \to \infty. $$

Answer 4

Tenemos $$ \frac {1}{2}= \lim_ {x \rightarrow\infty } \frac { \sqrt {x}}{2 \sqrt {x} \left ( \sqrt { \left (1+ \frac {1}{ \sqrt {x}} \right )} \right )} \leq\lim_ {x \rightarrow\infty } \frac { \sqrt {x}}{ \sqrt {x \left (1+ \frac {1}{ \sqrt {x}} \right )}+ \sqrt {x}} \leq\lim_ {x \rightarrow\infty } \frac {1+ \sqrt {x}}{ \sqrt {x+ \sqrt {x}}+ \sqrt {x-1}} \leq\lim_ {x \rightarrow\infty } \frac {1+ \sqrt {x}}{2 \sqrt {x}}= \frac {1}{2}$$

Answer 5

Cadena de desigualdad útil

Dado $a \ge 0$ y $b > - \frac {1}{2}a$ :

  $a+b-2 \frac {b^2}{a} \le a+b- \frac {b^2}{a+b} = \frac {a^2+2ab}{a+b} \le \sqrt {a^2+2ab} \le a+b- \frac {1}{2} \frac {b^2}{a+b} \le a+b$

Solución

Dado $x \ge 1$ :

  $ \sqrt {x}+ \frac {1}{2}- \frac {1}{4 \sqrt {x}+2} \le \sqrt {x+ \sqrt {x}} \le \sqrt {x}+ \frac {1}{2}$ .

  $ \sqrt {x}- \frac {1}{2 \sqrt {x}}- \frac {1}{4x \sqrt {x}} \le \sqrt {x-1} \le \sqrt {x}- \frac {1}{2 \sqrt {x}}$ .

Por lo tanto $ \sqrt {x+ \sqrt {x}}- \sqrt {x-1} \to \frac {1}{2}$ como $x \to \infty $ .

Notas

Este tipo de desigualdades son útiles cuando no queremos utilizar la expansión asintótica, pero de otra manera como se muestra en abel La expansión es la que más se aplica.