Significado y ejemplo(s) de Qiaochu la cita.

Question

Me topé con esta página http://math.uchicago.edu/~chonoles/quotations.html que contiene algunas hermosas citas por diversos matemáticos y me encontré con Qiaochu la cita, como lo afirma el sitio que parecía intrigante.

"Yo creo que en matemáticas nada es un truco, si se ve desde un nivel suficientemente alto." - Qiaochu Yuan

Ahora me preguntaba si alguien podría interpretar (tal vez incluso Qiaochu a sí mismo) y dar ejemplos de las matemáticas que iba a transmitir el significado de esta cita.

PD: Espero que esta pregunta no es demasiado off topic? Puede un moderador convertir esto en una wiki, si se considera apropiado? Además, cualquiera de las etiquetas apropiadas?

Edit: Ya que mi pregunta no es clara, como me hubiera gustado, prefiero esta pregunta para ser ejemplo de base. Así que me gustaría tanto ejemplos de diferentes áreas de matheamtics como sea posible. Dado que una gran cantidad de usuarios en este sitio se encuentran en diferentes niveles en función de la cantidad de matemáticas que uno ha aprendido, tal vez alguien puede contribuir dando ejemplos de decir en una escuela de alto nivel, a nivel de pregrado, de posgrado de nivel, o nivel de investigación, etc.

Answer 1

Un ejemplo de este tipo de "truco" es racionalizar el denominador. Se enseña un modelo a seguir, mucho antes de que usted entiende la teoría general. Por ejemplo, $$ \frac{1+\sqrt{3}}{5-2\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{3}}{5-2\sqrt{3}} \left( \frac{5+2\sqrt{3}}{5+2\sqrt{3}} \right) = \frac{(1+\sqrt{3})(5+2\sqrt{3})}{25-12} = \frac{11+7\sqrt{3}}{13}.$$

Si usted tiene un denominador de $a+b\sqrt{c}$, se puede multiplicar la parte superior e inferior por $a-b\sqrt{c}$ a deshacerse de la raíz cuadrada en el denominador.

Si usted aprende la teoría de Galois, usted puede explicar exactamente por qué esto funciona, y usted sabe cómo deshacerse de los números algebraicos en el denominador para cualquier ejemplo, como $$ \frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}, \qquad \frac{1}{3+\sqrt[3]{5}}, \quad \text{or} \quad \frac{1}{1+\alpha} $$ donde $\alpha$ es la verdadera raíz de la $x^5+x+1=0$. Tenemos que multiplicar el denominador por todos sus Galois conjugados. Eso significa que para el primer ejemplo, se multiplica la parte superior e inferior por $$(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})(1-\sqrt{2}-\sqrt{3}).$$ En el segundo ejemplo, se multiplica la parte superior e inferior por $$\left(3+\sqrt[3]{5}\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)\right) \left(3+\sqrt[3]{5}\left(\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right)\right).$$ Y en el último ejemplo, se multiplica la parte superior e inferior por $$(1+\alpha_2)(1+\alpha_3)(1+\alpha_4)(1+\alpha_5),$$ donde el $\alpha_i$ son los otros 4 raíces de $x^5+x+1=0$.

Además, podemos hacer esto sin la introducción de cualquier nuevo algebraica de números. Por ejemplo, $(1+\alpha_2)(1+\alpha_3)(1+\alpha_4)(1+\alpha_5)=2-\alpha+\alpha^2-\alpha^3+\alpha^4.$ Muy cool!

Una vez que usted entienda las simetrías de números algebraicos, la escuela secundaria álgebra "truco" de racionalizar el denominador no es mucho de un truco. Es sólo una rutina de uso de las ideas básicas de la teoría de Galois!

Answer 2

"Una idea que puede ser utilizado sólo una vez es un truco. Si se puede usar más de una vez se convierte en un método." - George Pólya, Gábor Szegö, "los Problemas y Teoremas en el Análisis del yo" http://books.google.ca/books?id=b9l2NqGEFzgC&pg=PR8&lpg=PR8

Desde un nivel más alto, usted puede ser capaz de ver el "truco" como una instancia de una mayor idea de que tiene una aplicabilidad más amplia. En el caso de $\int_0^\infty e^{-x^2}\ dx$, a pesar de que este truco no funciona para otras integrales, las grandes ideas son (1) el hecho de que $e^{-x^2} e^{-y^2}$ es la rotación invariable, que se corresponde con el hecho de que independiente de la normal de variables aleatorias tienen una distribución conjunta que es normal multivariante) y (2) el cambio de variables en integrales múltiples. Ambos son ampliamente aplicables.

Answer 3

Creo que el significado es que, en realidad, no hay trucos. Si usted piensa que algo es un "truco", probablemente usted no entiende lo suficientemente bien...