La Teoría de los números : la Infinitud De los números Primos - distinto a la prueba

Question

Yo estaba haciendo algunos conceptos básicos de la Teoría de los números problemas, y se topó con este problema :

• Muestran que el número entero : $Q_{n} = n ! + 1$ donde $n$ es un entero positivo, tiene un divisor primo mayor que $n$.

• A la conclusión de que existen infinitos números primos.

Mi Solución (parcial)

• Sabemos que como $Q_{n}$ es $\gt$ $1$ $\Rightarrow$ $Q_{n}$ tiene un divisor primo $p$
• Supongamos , que $p$ $\le$ $n$
• Si $p \le n$ $ p \mid n! $
• Así , en la igualdad de ; $Q_{n} - n ! = 1$ , $p$ divide el LHS $\Rightarrow$ también se divide $1$
• Pero eso no es posible ya que no prime divide $1$
• Por lo tanto , hemos llegado a una contradicción y no existe un divisor primo $>n$

Mi Pregunta :

Yo no soy capaz de demostrar la infinitud de los números primos a partir de este resultado , ¿cómo puedo hacer eso ?

Answer 1

La prueba implica que, dado cualquier prime $\,\color{#c00}p\,$ existe una mayor prime (dividiendo $\,Q_{\large\color{#c00}p}$), por lo tanto, el conjunto de números primos es infinita.

Comentario $\ $ Debido a que este medio de prueba es de no contradicción, que los rendimientos de información constructiva: iteración en la anterior, se obtiene un algoritmo para generar una secuencia infinita de números primos, a saber.

$$\begin{align} &Q_1 = 1!+1 = 2\quad\ \text{has prime factor}\ \ \ \, 2 > 1\\ &Q_2 = 2!+1 = 3\quad\ \text{has prime factor}\ \ \ \, 3 > 2\\ &Q_3 = 3!+1 = 7\quad\ \text{has prime factor}\ \ \ \, 7 > 3\\ &Q_7 = 7!+1 = 71^2\ \text{has prime factor}\ \ 71 > 7\\ &\quad\ \ \ \vdots\qquad \qquad \qquad\qquad\ \ \vdots \end{align}\qquad $$ Esta prueba es una variación menor en Euclid de la clásica prueba (que también no fue por la contradicción, a pesar de los muchos inexacta de las reivindicaciones históricas de lo contrario).

Answer 2

SUGERENCIA: Si hay sólo un número finito de números primos, habría una mayor prime; de la llamada es $q$. Ahora considere lo que usted sabe acerca de $Q_q$.

Answer 3

Deje $P_n$ ser un primer dividiendo $Q_n$. Se ha demostrado que el $P_n>n$. La siguiente es una secuencia infinita de distintos números primos: $$\left\{2,P_2,P_{P_2},P_{P_{P_2}},P_{P_{P_{P_2}}},P_{P_{P_{P_{P_{2}}}}},\ldots\right\}.$$ Por lo tanto, hay una infinidad de números primos.

Answer 4

Sugerencia: Suponga que hay un número finito de números primos. Deje $n$ ser el más grande de prime. Obtener una contradicción.

Answer 5

Yo no se anda por las ramas. Para cualquier prime $p$ que sin duda puede encontrar un entero positivo $n$ tal que $p$ no es mayor que$~n$. Así que no puede haber un mayor prime.