Trascendencia de la $\log$ de la media de oro

Question

Sabemos que $\phi$ la proporción áurea, es algebraica. ¿Se sabe si $\log(\phi)$ ¿es algebraico?

Gracias.

PS. No me dedico a la teoría de números, así que pido disculpas de antemano si esto es obvio.

Answer 1

$\log (\phi)$ es trascendental. El Teorema de Lindemann-Weierstrass implica que si $\alpha$ es un número algebraico no nulo, entonces $e^\alpha$ es trascendental. Por lo tanto, ya que $\phi$ es algebraico, $\log (\phi)$ es trascendental.