Superficies regladas y fibraciones racionales

Question

Tengo algunas dudas sobre Ruled Surfaces.

Editar:

1. Estamos trabajando sobre el terreno $\Bbb{C}$
2. El término gobernado se encuentra aquí para biracional gobernado

Dejemos que $S$ sea una superficie algebraica lisa y $C$ una curva proyectiva suave.

Si existe un morfismo $p:S\rightarrow C$ con cada fibra biracional a $\Bbb{P}^1$ digamos que $S$ es un fibrado racional . Por el teorema de Noether-Enriques, cada fibración racional es una superficie reglada.

Reclamación: Si $S\neq\Bbb{P}^2$ entonces $S$ es una fibración racional si y sólo si $S$ es gobernado.

Supongamos que esto es cierto. Entonces, dada una superficie reglada $S\neq\Bbb{P}^2$ consideramos $S$ como una fibración racional y puede haber a lo sumo un número finito de fibras que sean birracionales pero no isomorfas a $\Bbb{P}^1$ . Así que son curvas singulares irreducibles (¿no?). Por lo tanto, mediante una secuencia finita de expansiones obtenemos una con reglas geométricas superficie, es decir, una fibración racional con cada fibra isomorfa a la recta. ¿Es correcto este argumento?

¿Cree que esa afirmación es cierta?

Editar: Ya que la respuesta de Asal sugiere que la afirmación es falsa. Permítame volver a preguntarle: suponga que $S\neq\Bbb{P}^2$ se rige por la bipolaridad. ¿Podemos demostrar que existe un morfismo $p:S\rightarrow C$ cuya fibra genérica es isomorfa a $\Bbb{P}^1$ ?

Answer 1

Permítanme que intente responder a la pregunta modificada. (Asumo que estamos trabajando sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero).

La respuesta a su pregunta depende fundamentalmente de lo que se entienda por gobernado . (Creo que esto fue una fuente de confusión en los comentarios.) Hay dos definiciones diferentes que conozco, ninguna de ellas estándar:

• $S$ es con reglas geométricas (lo que Hartshorne llama gobernado) si $p: S \rightarrow C$ tiene cada fibra isomorfa a $\mathbf{P}^1$ ;
• $S$ es biracional gobernado (lo que otras personas llamaron gobernado) si $S$ es biracional a un producto $C \times \mathbf{P}^1$ .

Ahora bien, Noether--Enriques te dice que una fibración racional está regida por la bira (al menos una vez que sabes que hay algunas fibras suaves, lo que obtienes del segundo teorema de Bertini), pero te puede preocupar que haya algunas fibras singulares que impidan que esté regida geométricamente. Sin embargo, esto no puede suceder en realidad, por la siguiente razón. Según tu definición de fibrado racional, toda fibra de $p$ es una curva racional reducida irreducible, pero cualquier curva de este tipo que no sea isomorfa a $\mathbf{P}^1$ debe ser singular, y por lo tanto tener un género aritmético mayor que 0; sin embargo, esto no puede ocurrir para una familia plana como $p: S \rightarrow C$ . (Véase Hartshorne para justificar todas estas afirmaciones).

Por tanto, una fibración racional es lo mismo que una superficie geométricamente reglada. Para asegurarnos de que son realmente diferentes de las superficies regladas bipartitas, pongamos un ejemplo: tomemos $p: S \rightarrow C$ una superficie geométricamente reglada, y que $\pi: S' \rightarrow S$ sea el reventón de un punto cualquiera de $S$ . Entonces $p \circ \pi: S' \rightarrow C$ es una superficie reglada bianualmente, pero una de sus fibras es una curva reducible, por lo que no está reglada geométricamente.

En realidad, este último ejemplo también pone de manifiesto un problema con tu idea en el último párrafo: inflar puntos desgraciadamente no puede convertir una fibración con fibras singulares en una con fibras lisas, porque introduce componentes extra en algunas de las fibras.

Espero que esto ayude.

Editar: Por último, creo que puedo responder a la pregunta prevista. Dejemos que $S$ sea una superficie regida por la bipolaridad, no isomorfa a $\mathbf{P}^2$ . Contrato $(-1)$ -curvas en $S$ hasta llegar a una superficie mínima $S_m$ . Así que tenemos un morfismo $p: S \rightarrow S_m$ . Ahora bien, según la clasificación de Enriques, hay tres posibilidades de $S_m$ :

1. Es una superficie con reglas geométricas $\pi: S_m \rightarrow C$ sobre una curva de género $>0$ ;

2. Es un surace de Hirzebruch $\pi: S_m \rightarrow \mathbf{P}^1$ ;

3. Es $\mathbf{P}^2$ .

Los dos primeros tipos se rigen geométricamente, por lo que $\pi \circ p$ da un morfismo a una curva con fibra genérica $\mathbf{P}^1$ . (Obtenemos $S$ de $S_m$ por la explosión de un número finito de puntos, por lo que no afecta a la fibra genérica).

El único problema es que si llegamos a $\mathbf{P}^2$ . Pero en ese caso simplemente dejamos de contraer curvas en el penúltimo paso, para obtener un morfismo $p: S \rightarrow \Sigma_1$ donde $\Sigma_1$ es el reventón de $\mathbf{P}^2$ en un punto. Ahora $\Sigma_1$ es también una superficie geométricamente reglada, por lo que podemos argumentar como en los otros casos.

Y si eso no responde a la pregunta, ¡lo dejo! :)