¿Puedes dividir un papel cuadrado en cinco cuadrados iguales? Tienes tijeras y pegamento. Puedes medir, cortar y luego pegar también. La única condición es que no puedes desperdiciar papel.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Brian Sullivan
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El teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien dice:
Cualquier dos polígonos simples de igual área son equidecomposables
(donde simple significa sin auto intersecciones y equidecomponible significa cortar y pegar finitamente).
Para tu problema puedes tomar el primer polígono como un cuadrado unitario y el segundo como un rectángulo de sqrt(5) por 1/sqrt(5) y aplicar este teorema. Luego realiza los cuatro cortes restantes.
Además, la generalización de tu pregunta es el análogo en 2D del Tercer Problema de Hilbert que pregunta si dados dos poliedros con igual volumen uno puede ser cortado y pegado finitamente en el otro. La respuesta aquí, a diferencia del caso en 2D, es "no", lo cual fue demostrado por Dehn utilizando invariantes de Dehn en 1900.
Sergio Acosta
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Dado que $1+2i$ tiene longitud $\sqrt5$, puedes levantar un dominio fundamental cuadrado de $\mathbb C/\mathbb Z[i]$ a $\mathbb C/(1+2i)\mathbb Z[i]$. Superpone un dominio fundamental cuadrado del toro más grande para obtener una forma de dividir un cuadrado en 5 cuadrados más pequeños.
Es bastante fácil descomponer cualquier rectángulo en un cuadrado geométricamente, pero la descomposición general no es tan agradable.
