Rigurosa separación de variables.

Question

Deje $I \subseteq \mathbb{R}$ denotar un abierto no vacío subinterval de la línea real. Estamos dadas las funciones:

$$f : I \rightarrow \mathbb{R}, \;\;g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.$$

Ahora supongamos que estamos interesados en encontrar el conjunto de $A$, que se define a continuación, por el método de separación de variables. Básicamente, esto implica la búsqueda de los conjuntos de $B$ $C$ (también se define a continuación) y, a continuación, utilizando el hecho de que $A = B \cup C$.

Pregunta. ¿Qué restricciones en $f$ $g$ nos permiten concluir que el $A = B \cup C$?

Definiciones.

• $A =$ el conjunto de todas las funciones diferenciables $y : I \rightarrow \mathbb{R}$ satisfactorio

$$y'(x) = f (x) g(y(x)).$$

• $B =$ como en el anterior, excepto que la demanda más fuerte de la condición:

$$\forall x \in I, g(y(x)) \neq 0\qquad \frac{y'(x)}{g(y(x))} = f(x).$$

• $C =$ el conjunto de todas las constantes de las funciones de $y : I \rightarrow \mathbb{R}$ de la forma $$y(x) = c,$$ such that $c \in \mathbb{R}$ satisfies $g(c)=0$.

Answer 1

He escrito una larga Sección de un Capítulo sobre esto, en mi libro de Odas, pero es en griego. Si usted entiende que puede enviar a usted. El espíritu es la siguiente: ¿Cómo hacer la separación de variables riguroso.

Sin embargo, deseo hacer un comentario. Hay soluciones que no pertenecen a los conjuntos cuando se infringe la unicidad. Por ejemplo: supongamos la ecuación $$y'=\lvert y\rvert^{1/2}.$$ A continuación, una solución de la anterior es $$\varphi(x)=\left\{\begin{array}{lll}0 & \text{if} & x\le 0, \\ x^2/4 & \text{if} & x>0.\end{array}\right.$$ Tenga en cuenta que ese $g(\varphi(x))$ se desvanece para $x\le 0$, y es positivo para $x>0$.