Convergencia de las diferencias finitas a cero y de los polinomios

Question

Supongamos que $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ es continua y $h\in \mathbb R$ . Sea $\Delta_h^n f(x)$ sea una diferencia finita de $f$ de orden $n$ es decir

$$\Delta_h^1 f(x)=f(x+h)-f(x),$$ $$\Delta_h^2f(x)=\Delta_h^1f(x+h)-\Delta_h^1 f(x)=f(x+2h)-2f(x+h)+f(x),$$ $$\Delta_h^3 f(x)=\Delta_h^2f(x+h)-\Delta_h^2f(x)=f(x+3h)-3f(x+2h)+3f(x+h)-f(x),$$ etc. Existe una fórmula explícita para $n$ -diferencia: $$\Delta_h^n f(x)=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\frac{n!}{k!(n-k)!} f(x+kh).$$

Supongamos ahora que $n\in \mathbb N$ y $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ son tales que para cada $x \in \mathbb R$ : $$\frac{\Delta_h^n f(x)}{h^n} \rightarrow 0 \textrm{ as } h \rightarrow 0.$$ ¿Es entonces $f$ un polinomio de grado $\leq n-1$ ?

Está claro que si $n=1$ porque entonces $f'(x)=0$ para $x\in \mathbb R$ .

Editar. Sin suposición de continuidad sobre $f$ no es cierto, porque para $n-1$ -función aditiva $F$ que no es $n-1$ -lineal tenemos $\Delta_h^nf(x)=0$ , donde $f(x)=F(x,...,x)$ .

Answer 1

Dejemos que $f(x) = |x|$ entonces $\Delta_h^2(f)$ tiene soporte $[-2h, 0]$ . En particular $\lim_{h \to 0}\Delta_h^2(f)/h^2 = 0$ en cuanto a los puntos, pero $f$ no es un polinomio.

Editar: Si la convergencia en $x$ es uniforme en un intervalo $[a, b]$ entonces creo que $f$ es un polinomio en ese intervalo. Esto puede ser una consecuencia de la expansión de Fourier, pero no tengo tiempo ahora para profundizar en los detalles (si es que se puede hacer).

Answer 2

El resultado se mantiene si suponemos que $f$ es $n$ -veces diferenciable, de lo contrario, como muestra WimC, no es necesariamente el caso.

Utilizando este hilo y la función traducida ( $f(\cdot)=h(x+\cdot)$ ), podemos ver que $$\frac{\Delta_h^nf(x)}{h^n}=f^{(n)}(x),$$ por lo que la hipótesis arroja $f^{(n)}\equiv 0$ Por lo tanto $f$ es un polinomio de grado máximo $n-1$ .

Answer 3

En realidad, este es un comentario demasiado largo para que quepa en el formato habitual. La afirmación de WimC sobre el caso de convergencia uniforme es correcta : supongamos que $\Gamma(h,x)=\frac{\Delta_h^2f(x)}{h^2} \to 0$ , de manera uniforme en $x$ en un intervalo $[a,b]$ .

Pongamos $\beta(h)={\sf sup}_{x\in[a,b]}(\big| \Gamma(h,x)\big|)$ para $h>0$ . Entonces la hipótesis afirma que $\beta(h) \to 0$ cuando $h \to 0$ .

Ahora, la identidad

$$\Delta_{2h}^{2}f(x)=\Delta_h^{2}f(x+2h)+2\Delta_h^{2}f(x+h)+\Delta_h^{2}f(x)$$

rinde

$$\Gamma(2h,x)=\frac{\Gamma(h,x+2h)+2\Gamma(h,x+h)+\Gamma(x,h)}{4}$$

Tomando sups arriba, vemos que $\beta(2h) \leq \beta(h)$ . Por lo tanto, si el límite $|\beta(h)| \leq \varepsilon$ se mantiene para $h\in [0,\eta]$ también será válida para $h \in [0,2\eta]$ incluso se mantendrá en todas partes, por inducción. Dado que esto es válido para cada $\varepsilon >0$ vemos que $\beta=0$ como se desea.