Evaluación de integrales mediante la integración de Lebesgue

Question

Supongamos que debemos evaluar:

$$I = \int_{0}^{1} f(x) dx$$

Dónde

$$f(x)=\begin{cases}1 \space \text{if} \space x\space \text{is rational}, & \newline 0 \space \text{if} \space x \space \text{is irrational} \\ \end{cases}$$

Me han dicho que esto se puede hacer utilizando la teoría de la medida.

¿Alguien puede explicar cómo? Soy nuevo en la teoría de la medida, así que estoy investigando, por favor, no diga "no se muestra ningún intento" esto es porque no sé Lebesgue todavía, pero he oído que tiene grandes aplicaciones en este?

Answer 1

La integración de Lebesgue te dice que el valor es cero. Básicamente, al igual que se pueden dividir integrales sobre intervalos en la integración de Riemann, se pueden dividir integrales sobre conjuntos medibles arbitrarios en la integración de Lebesgue. Aquí escribimos:

$$\int_{[0,1]} f(x) dx = \int_{[0,1] \cap \mathbb{Q}} 1 dx + \int_{[0,1] \cap \mathbb{Q}^c} 0 dx$$

Ahora que lo hemos escrito como una integral de funciones constantes, sólo tenemos que multiplicar las constantes por las medidas de los conjuntos correspondientes, obteniendo

$$\int_{[0,1]} f(x) dx = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0.$$

desde $[0,1] \cap \mathbb{Q}$ tiene medida cero. Explicar cómo demostrar que tiene medida cero requeriría una cantidad significativa de explicación de las definiciones y teoremas de la teoría de la medida.

Answer 2

Puedes hacerlo: $$\begin{align} \int_{[0,1]} f(x)\, {\rm d}{\frak m}(x) &= \int_{[0,1]\cap \Bbb Q} f(x)\, {\rm d}{\frak m}(x) + \int_{[0,1]\cap \Bbb Q^c} f(x)\, {\rm d}{\frak m}(x) \\ &= \int_{[0,1]\cap \Bbb Q} 1\ {\rm d}{\frak m}(x) + \int_{[0,1]\cap \Bbb Q^c} 0 \ {\rm d}{\frak m}(x) \\&= {\frak m}([0,1] \cap \Bbb Q) = 0 \end{align}.$$

La definición exacta de $\frak m$ es: ${\frak m}^*E = \inf\{\sum_{n \geq 1}\ell(J_n) \mid J_n \text{ intervals and } E \subseteq \bigcup_{n \geq 1}J_n\}$ . Entonces ${\frak m}\Bbb Q = 0$ . Sea $\epsilon > 0$ y tomar una enumeración de $\Bbb Q$ , $\{r_1, \cdots, r_n, \cdots\}$ . Sea $J_n = (r_n - \epsilon/2^{n+1},r_n + \epsilon/2^{n+1})$ . Entonces te dejo que demuestres que $\Bbb Q \subset \bigcup_{n \geq 1}J_n$ y $\sum_{n \geq 1}\ell(J_n) < \epsilon.$ Esto demuestra, de hecho, que cualquier conjunto denumerable tiene medida cero.

Answer 3

Desde $f$ es una función característica de $\mathbb{Q}$ , a partir de la definición de la integral de Lebesgue se tiene:

$$I = \int_{0}^{1} f(x) dx=\lambda(\mathbb{Q\cap[0,1]})=0$$

donde $\lambda$ es $1$ -medida de Lebesgue.

Answer 4

La integral de Lebesgue es como la integración de Riemann puesta de lado. (En lugar de dividir el dominio en secciones, como hace Riemann, divide el rango en secciones y toma la preimagen de esas secciones). Suma las medidas de Lebesgue de las preimágenes de los valores en el rango de la función por los valores de la función. Está relacionado con la teoría de la medida. En este caso, la integral de Lebesgue es 1* medida( racionales) + 0 * medida( irracionales). Se puede demostrar que la medida( racionales) = 0 y la medida( irracionales) = 1. Así que la integral es 0. Así que la integral es 0. La medida de los racionales es 0 porque se puede crear un conjunto contable de segmentos de línea que contenga todos los racionales cuyas longitudes sumen menos que un épsilon arbitrariamente pequeño>0.