Me preguntaba tiempo la serie $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac {\tan(n)} {n^b}$$ diverge o converge siempre que $b \geq 1$ es un número entero. ¿Alguien tiene una prueba, ya sea para la declaración? Hace converger para algunos enteros positivos, pero no para otros? En ese caso, cuales son?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La serie sin duda diverge para $b=1$ y converge para $b\ge 8$, como se muestra en este artículo por Sam Coskey. Además, "se queda muy pequeño para un tiempo muy largo" al $b=2$.
En una de las respuestas a esta pregunta, se argumenta que la serie converge si $b > \mu(\pi^{-1})$ donde $\mu$ es la irracionalidad de la medida. La irracionalidad de la medida de $1/\pi$ es la misma que la irracionalidad medida de $\pi$, que recientemente ha recibido una mejora de la cota superior de a $7.6063$ (Salikhov 2008; ver MathWorld del artículo de referencia completa). Aunque este argumento se reproduce la ya conocida resultado (convergencia para $b\ge 8$), muestra que una mayor cota superior de a $\mu(\pi)$ inmediatamente implica la convergencia para los más pequeños los valores de $b$.
