Dado que la categoría de homotopía (de lo que sea) suele tener muy pocos límites y colímites, y éstos no coinciden con los límites y colímites de homotopía en la estructura del modelo elevado, ¿por qué nos importa la categoría de homotopía? ¿Es "sólo" para clasificar los tipos de homotopía?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En cuanto se tiene un funtor invariante de homotopía, éste es un factor a través de la categoría de homotopía, por la propiedad universal de las localizaciones. Para dar un funtor invariante de homotopía $\mathsf{C} \to \text{Whatever}$ es exactamente lo mismo que dar un functor $\operatorname{Ho}(\mathsf{C}) \to \text{Whatever}$ . Así que si podemos entender la categoría de homotopía lo suficientemente bien, entonces entendemos los invariantes de homotopía. Usted conoce muchos invariantes de homotopía: homología, cohomología, grupos de homotopía... y presumiblemente sabe por qué nos preocupamos por ellos. Así que esto explica por qué nos preocupamos por la categoría de homotopía.
El hecho de que la categoría de homotopía se comporte mal no significa que no sea interesante. Significa que es difícil entenderla. Es porque la categoría de homotopía es la "sombra" de otra cosa: la estructura modelo de tu categoría, o cualquier otra cosa que quieras codificar ( $\infty$ -categorías, dg-categorías, categorías trianguladas...).
Piensa en ello como, por ejemplo, los complejos de cadenas y su homología. Es fácil manipular complejos en cadena: puedes hacer sumas, productos de tensores, tomar duales... Sin preocuparse realmente. Pero en cuanto tomas su homología, las cosas empiezan a torcerse: tienes el $\operatorname{Tor}$ -términos que aparecen para los productos tensoriales, extender escalares ya no es tan fácil como tensar, tomar duales es un lío...
Así que para entender realmente la categoría de homotopía, subimos un nivel y nos fijamos en las categorías de modelos (o en cualquier otra forma de codificar dicha información). Ahora las cosas son realmente agradables y se comportan bien. Una vez que hemos hecho nuestro trabajo arriba, volvemos abajo y obtenemos información sobre la categoría de homotopía, y eventualmente sobre los invariantes de homotopía. Aquí es donde obtenemos todas estas secuencias espectrales y otras cosas, y hacemos cálculos concretos.
Si se observan las cosas ahora, ya tenemos categorías de modelos (o lo que sea), y entonces se podría pensar "por qué preocuparse por las categorías de homotopía". Pero las categorías modelo no fueron lo primero: al principio, la gente sólo tenía funtores invariantes de homotopía, pensó "voy a localizar en las equivalencias de homotopía" y se dio cuenta de que esto hacía un lío con una categoría. Luego se dieron cuenta de que era la sombra de algo superior, y buscaron esto, y he aquí que ahora tenemos categorías modelo, categorías dg, categorías trianguladas... Pero, por lo que tengo entendido, todo esto es con el objetivo final de entender mejor la categoría de homotopía, donde es difícil hacer cálculos pero donde ocurren las cosas reales.
