Tengo un ejercicio de un libro que afirma que si un conjunto $S$ tiene una función de elección, entonces también lo hace la unión de todos sus elementos, $\bigcup S$ (sin asumir el axioma de elección). Sin embargo, tengo serias dudas de que esta declaración tiene, e incluso tengo un argumento en contra. Sin embargo, desde que estoy en contra de la palabra de un libro de texto, no puedo estar seguro. Pensé que puede ser que falte algo obvio. Por lo tanto, quiero verificar mi corazonada.
Primero un poco de aclaración de mi terminología:
- Por una función de elección $C$ sobre un conjunto $S$, me refiero a una función de $C : \wp(S)\setminus\{\emptyset\} \to S$ tal que $C(\sigma) \in \sigma$.
- Para un conjunto $S$, $\bigcup S = \{x : (\exists y \in S) x \in y\}$ es decir, es la unión de todos los elementos de a $S$.
Ahora, mi argumento en contra de el libro de la afirmación es la siguiente: si el axioma de elección (AOC) eran falsas, entonces no sería un conjunto $\Sigma$ que no tiene ninguna opción de las funciones. Consideremos, ahora, el singleton set $\{\Sigma\}$; claramente tiene una función de elección en él, pero su unión no como $\bigcup \{\Sigma\} = \Sigma$. Por lo tanto, si el AOC eran falsos, a continuación, puede probar esta afirmación falsa uso de los otros axiomas de la teoría de conjuntos. Por lo tanto, contrapositively, si podía probar este ejercicio verdadero uso solo de los otros axiomas de la teoría de conjuntos, he podido demostrar AOC demasiado para lo que parece ridículo! Es mi razonamiento correcto? O estoy equivocado en alguna parte?
