¿Tenemos álgebras abelianas máximas (MAA)?

Question

Dejemos que $\mathcal{H}$ sea un espacio de Hilbert y $B(\mathcal{H})$ el álgebra de operadores lineales acotados en $\mathcal{H}$ . A MASA $\mathcal{M}$ es una subálgebra de $B(\mathcal{H})$ que sea abeliano y autoadjunto, y que sea maximal con respecto a estas condiciones.

Los MASA son materiales bastante estándar en la teoría de operadores, pero me pregunto si hemos estudiado MAAs es decir, eliminamos la condición de que el álgebra tiene que ser cerrada bajo involución.

Al igual que para los MASA, los MAA existen si asumimos el lema de Zorn. Pero los MASA se pueden construir a mano (por ejemplo, $\mathcal{H}=\mathcal{L}^2(X,\mu)$ , un MASA es el álgebra de la multiplicación). No estoy seguro de que tengamos este tipo de ejemplos explícitos de MAA.

Entonces, ¿tenemos un buen ejemplo de MAA (en $\mathcal{L}^2$ tal vez)? ¿Sabemos algo de los MAA?

Gracias.

Answer 1

La prueba habitual de que $L^\infty$ es un MASA en realidad demuestra que es un MAA en su sentido; es decir, demostrar que un operador dado $T$ es un operador de multiplicación todo lo que necesitas saber es que conmuta con todos los demás operadores de multiplicación (y a menudo todo lo que necesitas saber es que conmuta con uno particular operador de multiplicación; véase, por ejemplo, "A short course on spectral theory" de Arveson, sección 4.1).

Por otro lado, hay MAA que no son MASAS. Esto es más fácil de ver en el caso de las dimensiones finitas. Sea $S$ sea el $n\times n$ matriz con $1$ a lo largo de la diagonal justo por debajo de la diagonal principal, y $0$ 's en otro lugar (así que $S$ es sólo el desplazamiento unilateral). No es difícil demostrar que cualquier matriz que conmuta con $S$ debe ser triangular inferior y constante a lo largo de todas las diagonales, y éstas son exactamente las matrices dadas por polinomios en $S$ por lo que forman un MAA. Pero, obviamente, esta álgebra no es autoadjunta. Un argumento similar también funciona en el caso de dimensión infinita.