Un mínimo de polinomios y características de los polinomios

Question

Estoy tratando de entender las similitudes y diferencias entre el polinomio mínimo y el polinomio característico de las Matrices.

1. Cuando son los mínimos polinomio y el polinomio característico de la misma
2. Cuando son diferentes
3. Qué condiciones (autovalores/autovectores/...) implicaría 1 o 2
4. Por favor decirme algo más acerca de estos dos polinomios que es esencial en la comparación entre ellas.

Answer 1

El polinomio mínimo es, literalmente, la más pequeña (en el sentido de divisibilidad) distinto de cero el polinomio de que la matriz satisface. Es decir, si $A$ tiene un mínimo de polinomio $m(t)$$m(A)=0$, y si $p(t)$ es un polinomio distinto de cero con $p(A)=0$ $m(t)$ divide $p(t)$.

El polinomio característico, por otra parte, se define de manera algebraica. Si $A$ $n \times n$ matriz de entonces su polinomio característico $\chi(t)$ debe tener grado $n$. Esto no es cierto de que el polinomio mínimo.

Puede demostrarse que si $\lambda$ es un autovalor de a$A$$m(\lambda)=0$. Este es razonablemente clara: si $\vec v \ne 0$ $\lambda$- vector propio de a $A$ $$m(\lambda) \vec v = m(A) \vec v = 0 \vec v = 0$$ y por lo $m(\lambda)=0$. La primera igualdad de aquí utiliza la linealidad y el hecho de que $A^n\vec v = \lambda^n \vec v$, por lo que es fácil de inducción.

También puede comprobarse que la $\chi(A)=0$. En particular, que $m(t)\, |\, \chi(t)$.

Así un ejemplo de cuando (1) se produce es al $A$ $n$ distintos autovalores. Si esto es así, a continuación, $m(t)$ $n$ raíces, por lo que tiene un grado $\ge n$; pero tiene el grado $\le n$ porque se divide $\chi(t)$. Por lo tanto deben ser iguales (ya que ambos son monic, tienen la misma raíz y el mismo grado, y uno divide la otra).

Una más completa caracterización de cuando (1) se produce (y cuando (2) se produce) puede obtenerse considerando la Forma Normal de Jordan; pero sospecho que sólo ha aprendido acerca de la característica y un mínimo de polinomios así que no quiero ir a FONDO.

Déjeme saber si hay algo más que quieras saber, yo sin duda perdido algunas cosas.

Answer 2

El polinomio mínimo $m(t)$ es el más pequeño factor del polinomio característico $f(t)$ que si $A$ es la matriz, entonces todavía tenemos $m(A) = 0$. La única cosa que el polinomio característico de las medidas es la multiplicidad algebraica de un autovalor, mientras que la mínima polinomio mide el tamaño de la $A$-ciclos que forman la generalizada subespacios propios.k.una. el tamaño de los bloques de Jordan). Estos hechos se pueden resumir de la siguiente manera.

• Si $f(t)$ tiene un factor de $(t - \lambda)^k$, esto significa que el autovalor $\lambda$ $k$ linealmente independiente de vectores propios generalizados.
• Si $m(t)$ tiene un factor de $(t - \lambda)^p$, esto significa que el mayor $A$-ciclo de vectores propios generalizados contiene $p$ elementos; es decir, el mayor bloque de Jordan de a$\lambda$$p \times p$. Aviso de que esto significa que $A$ sólo es diagonalizable si $m(t)$ tiene sólo simple raíces.
• Por lo tanto $f(t) = m(t)$ si y sólo si cada autovalor $\lambda$ corresponde a un único bloque de Jordan, un.k.una de cada autovalor corresponde a un único mínimo invariante en el subespacio de vectores propios generalizados.
• $f(t)$ $m(t)$ diferir si algún autovalor tiene más de un bloque de Jordan, un.k.una. si un autovalor tiene más de una generalizada espacio propio.