Como usted ha usado de Cauchy-Schwarz Desigualdad, $$A=\dfrac{x_1}{x_2+x_3+\dots+x_{k+1}}+\dfrac{x_2}{x_3+x_4+\dots+x_{k+2}}+\ldots+\dfrac{x_n}{x_1+x_2+\dots+x_k}$$
conduce a: $\displaystyle A \ge \dfrac{(x_1+\cdots+x_n)^2}{\sum\limits_{i=1}^{k}x_i(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i+k})}$ donde la suma se toma sobre cíclico índice ($\displaystyle x_i = x_{i \pmod n}$).
Por eso, $\displaystyle P = \sum\limits_{i=1}^{k}x_i(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i+k})$ $S = x_1+\cdots+x_n$ (por ejemplo).A continuación, $\displaystyle A \ge \frac{n}{k^2}$, pero aún así, $\displaystyle \dfrac{S^2}{P}$ no necesita ser mayor de $\displaystyle \frac{n}{k^2}$.
En cuanto a la interpretación de $P$, es una Forma Cuadrática con matriz de la forma de ser Simétrica circulantes de la matriz de la primera fila está dado por escribir una fila de $0$'s y la adición de la sucesión en $\displaystyle \frac{1}{2}$ en posiciones de $2,3,\cdots, k+1$ y en las posiciones $n-k+1,\cdots,n$ de la fila (con la posible modificación debido a una anterior, además de si $2m \ge n$). El resto de las filas se permutaciones cíclicas de la fila 1.
Ahora, $\displaystyle S^2 - \frac{n\lambda}{k}P$ (para algunos $\lambda > 0$) es una Forma Cuadrática y es $\ge 0$ fib de la matriz de la forma positiva-semi-definida, es decir, iff sus autovalores son no negativos.
La primera fila de la matriz de la forma $\displaystyle S^2 - \frac{n\lambda}{k}P$ está dada por es dado por escribir una fila de $1$'s y restar en la sucesión de $\displaystyle \frac{n\lambda}{2k}$ en posiciones de $2,3,\cdots, k+1$ y en las posiciones $n-k+1,\cdots,n$ de la fila (con la posible modificación debido a una anterior de la resta si $2m \ge n$). Los autovalores (de circulantes de la matriz) se $$\lambda_j = \sum\limits_{r=1}^{n} \omega_j^r - \frac{n\lambda}{2k}\sum\limits_{r=1}^{k} (\omega_j^r + \omega_j^{-r})$$ for $j=0,1,2,\cdots,n-1$, and $\omega_j = e^{2\pi ij/n}$.
Claramente, $\displaystyle \lambda_0 = n - \dfrac{n\lambda}{2k}.2k = n(1-\lambda) \ge 0$ fib $\lambda \le 1$.
y, $\displaystyle \lambda_j = \dfrac{n\lambda}{2k}\dfrac{\sin \frac{j\pi}{n} - \sin (2k+1)\frac{j\pi}{n}}{\sin \frac{j\pi}{n}}$$j \ge 1$. Así, la forma es positivo(semi-definido) dependiendo de si: $$\displaystyle \sin \frac{j\pi}{n} \ge \sin (2k+1)\frac{j\pi}{n}$$ for all $j = 1,2,\cdots, n-1$ (independent of $\lambda$) which one can certainly see is not true for all $k,n$.
Como para $\displaystyle A \ge \dfrac{n}{k^2}$, tome $x_{i_1} = \max\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$
y definir $x_{i_2} = \max\{x_{i_1+1},x_{i_1+2},\cdots,x_{i_1+k}\}$,
hasta $x_{i_m} = \max\{x_{i_{m-1}+1},x_{i_{m-1}+2},\cdots,x_{i_{m-1}+k}\}$
y $x_{i_{m+1}} = x_{i_1}$.
Entonces, claramente, $m > \dfrac{n}{k}$.
También, $\displaystyle A \ge \dfrac{x_{i_1}}{x_{i_1+1}+x_{i_1+2}+\cdots+x_{i_1+k}} + \dfrac{x_{i_2}}{x_{i_2+1}+x_{i_2+2}+\cdots+x_{i_2+k}} + \cdots + \dfrac{x_{i_m}}{x_{i_m+1}+x_{i_m+2}+\cdots+x_{i_m+k}} \ge \dfrac{x_{i_1}}{kx_{i_2}}+\dfrac{x_{i_2}}{kx_{i_3}}+\cdots + \dfrac{x_{i_m}}{kx_{i_1}} \ge \dfrac{m}{k} \ge \dfrac{n}{k^2}$
por Am-Gm de la Desigualdad.
La segunda desigualdad se ve no triviales. El caso $k=2$: $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}} \ge \frac{n\lambda}{2}$.
El caso de $\lambda = 1$ es conocido como el de Shapiro-la Desigualdad que no se cumple para todos los $n$.
La mejor constante $\lambda_{max} = 0.9891..$ como se mencionó en la Wiki-link.
