Demuestra que $\int_0^1|f''(x)|dx\ge4.$

Question

Sea $f$ una función $C^2$ en $[0,1]$. $f(0)=f(1)=f'(0)=0,f'(1)=1.$ Probar que

$$\int_0^1|f''(x)| \, dx\ge4.$$

También determinar todas las posibles $f$ cuando se da la igualdad.

Answer 1

La desigualdad no se cumple. Tomando $$ f(x) = x^3 - x^2 $$ tenemos $$ f'(x) = 3x^2 - 2x \\ f''(x) = 6x - 2 \\ f(0) = f(1) = f'(0) = 0 \\ f'(1) = 1 $$ Pero $$ \int_0^1 \lvert f''(x)\rvert dx = \int_0^{1/3} (2 - 6x) dx + \int_{1/3}^1 (6x - 2)dx = 1/3 + 4/3 = 5/3 < 4 $$

Entonces, ¿qué podemos decir sobre el ínfimo de esa integral? $$ \int_0^1 \lvert f''(x) \rvert dx \geq \int_0^1 f''(x) dx = f'(1) - f'(0) = 1 $$ Para demostrar que $1$ es el mejor límite inferior, elija una función $C^2$ $h$ definida en $[0, 1/2]$ tal que $$ h(0) = h'(0) = h'(1/2) = h''(1/2) = 0 \\ h(1/2) = -1 $$ Usando la función anterior podemos construir el mapa $$ f(x) = \begin{cases} kh(x) & \text{si }0\leq x \leq 1/2 \\ -k & \text{si }1/2 < x \leq 1 - 3k \\ \frac {(x - 1 +3k)^3}{27k^2} - k & \text{si }1 - 3k < x \leq 1 \end{cases} $$ donde $k$ es una constante positiva menor que $1/6$. $f$ satisface todas las restricciones y $$ \int_0^1 \lvert f''(x) \rvert dx = 1 + k\int_0^{1/2} \lvert h''(x) \rvert dx $$ Al elegir $k$ lo suficientemente pequeño, podemos hacer que la integral se acerque a $1$ tanto como queramos.