¿Construir una banda de Möbius con un papel cuadrado? ¿Es posible?

Question

Entiendo que, desde una perspectiva topológica, es irrelevante si elegimos el cociente de la cuadrado $[0,1]\times [0,1]$ (identificando los puntos $(0,t)$ y $(1,1-t)$ ) o el cociente del rectángulo $[0,1]\times[0,a]$ , $a>1$ (donde se identifican los puntos obvios), como modelo de la banda de Möbius. Sin embargo, parece bastante difícil, si no imposible, que realmente físicamente construir un stirp de Möbius utilizando un cuadrado como el papel.

Me pregunto si es posible determinar la menor $a\geq 1$ , tal que la banda de Möbius es físicamente construible utilizando un papel congruente con $[0,1]\times[0,a]$ . Supongo que esta respuesta puede depender de factores como el tamaño y el grosor del papel que utilicemos. Esto puede estar relacionado con el matemáticas del plegado de papel . ¿Existe una respuesta general a esta pregunta, teniendo en cuenta las cualidades relevantes de un papel? ¿Conoce alguien alguna fuente que responda a esta pregunta?

Answer 1

(disculpas por la falta de matemáticas en esta respuesta, estoy publicando como wiki, por favor mejórala)

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Si tienes algún papel cuadriculado a mano, puedes puede doblar una tira de Mobius (poco convencional) en ella como la que se muestra a continuación. Es como una tira de Mobius en eso:

• Mediante un giro, el conjunto de un lado se conecta con el conjunto del lado opuesto invertido ( $AB>CD$ ), la parte superior izquierda de la parte delantera conecta con la parte inferior derecha de la parte trasera, igual que si fuera una tira larga con una vuelta.
• Se puede plegar y desplegar
• Es un anillo con un giro (no un cono de "helado" abierto)
• Si sigue una línea a lo largo de la tira con un lápiz en una línea ininterrumpida, cuando la despliegue, ambos lados estarán marcados.

Se diferencia de una tira de mobius estándar en que se dobla sobre sí misma (pero todo lo anterior sigue siendo cierto). La respuesta es algo más que doblar un cuadrado en cuartos y luego retorcerlo: como verás si lo intentas, eso no haría coincidir la totalidad de un lado con la totalidad del otro. Esto sí lo hace.

No estoy seguro de que esto sea estrictamente una banda de Möbius, pero tiene las principales propiedades y puede doblarse a partir de un cuadrado. Los colores son puramente una ayuda visual. El final muestra dónde en el lado frontal (1) se conecta con dónde en el lado posterior (2). Si se etiquetara una tira de Möbius convencional de "cinta" de la misma manera ( $A>D$ por cada borde), los puntos de conexión saldrían igual.

Answer 2

Esto es realmente un comentario (o en el mejor de los casos, una respuesta parcial), pero demasiado largo e ilustrado para un comentario.

Basta con que $a > 2$ . Aquí hay una prueba por imagen, para $a = 3$ :

Básicamente, una "media vuelta" del papel requiere un ancho. Dar dos medias vueltas (para invertir el papel) requiere dos anchos, y volver al punto de partida requiere un ancho.

El resultado es un bonito bucle (se puede desdoblar y es flexible).

Puedes reducir la longitud de la última solapa, y simplemente doblar antes de pegar. Puede hacer esto hasta $a = 2$ . En este caso, en el último paso tienes

y sólo hay que doblar todo por la mitad y pegar los extremos. Pero con $a = 2$ exactamente, no se puede desdoblar sin rasgar el papel.

Answer 3

Suponga que tiene un cuadrado $ABCD$ , punto de plegado $A$ en el punto $C$ , obteniendo un triángulo rectángulo isósceles. Siguiente pliegue $D$ en $B$ dándole un triángulo rectángulo isóceles más pequeño. Si has hecho esto correctamente los lados $AB$ y $CD$ deberían estar alineados (como la hipotenusa) si los unieras con cinta adhesiva la figura resultante sería una tira de Mobius.