subideals de un ideal

Question

Si $R$ es un anillo, J es un ideal en el $R$, e $I$ es un ideal de a $J$ ($J$ considera como un anillo), no se sigue que la $I$ es un ideal de a $R$? Es decir, es $I$ necesariamente cerrado bajo la multiplicación por elementos de la $R$? Seguramente $I$ es cerrado bajo la multiplicación por elementos de la $J$ (desde $I$ es un ideal de a $J$). El "evidente" para la prueba falla tan rápidamente que se debe ser falsa, de que "un ideal de un ideal es no necesariamente un ideal de la gran anillo". Por favor proporcione un contraejemplo. (O una prueba?)

Answer 1

Consideremos los conjuntos$$R=\left\{ \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ 0 & 0 & g \end{pmatrix}:a,b,c,d,e,f,g\in\mathbb{Z}\right\}\\J=\left\{\begin{pmatrix} 0&0&a\\0&0&b\\0&0&0\end{pmatrix}:a,b\in \mathbb{Z}\right\}\\I=\left\{\begin{pmatrix}0 &0&a\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}:a\in\mathbb{Z}\right\}$$Now we can easily check that $R$ is a ring with respect to usual matrix addition and multiplication and $J$ is an ideal of $R$ and $I$ is an ideal of $J$ but $I$ is not an ideal of $R$.

Answer 2

Deje $M$ ser la matriz de anillo de $M_2(\mathbb Q)$, y deje $I=M$ visto simplemente como un racional espacio vectorial. Considerar el grupo abelian $R=M\oplus I$ y definir en él una multiplicación tal que $$(a,v)\cdot(b,w)=(ab,aw+vb);$$ todos los productos en el lado derecho de esta definición son los good ol' de la matriz de productos.

Usted puede comprobar fácilmente que este vueltas $R$ en un anillo y que $I$ es un ideal de a $R$ tales que el producto de los dos elementos de la $I$ es de cero en $R$. Esto tiene la consecuencia inmediata de que cualquier $\mathbb Q$-subespacio $J$ $I$ es un ideal de a $I$.

Un poco de trabajo se muestran, por otro lado, que el $I$ no contener adecuadamente cualquier no-cero ideal de $R$.

N. B. I interpretado la palabra ideal en su pregunta a decir bilateral ideal.

Answer 3

Me pueden proporcionar un conmutativa contraejemplo: Vamos a $R=\mathbb Q[X]/(X^2)$, e $I=(\bar X)$. A continuación, los ideales de $R$ $I$ son sencillamente $I$$0$. Pero cualquier aditivo subgrupo de $I$ es un ideal de a $I$ (ya que la estructura multiplicativa en $I$ es la trivial).