Evaluar el límite de $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$

Question

Evaluar el límite de $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$, sin la utilización de una suma de Riemann

$\bf{My\; Try:}$ Utilizando el gráfico de $\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\;,$ tenemos

$$\int_{1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx <\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)<1+\int_{1}^{n}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$$

Así, obtenemos $$2\sqrt{n+1}-2<\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)<2\sqrt{n}-1$$

Por lo $$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2\sqrt{n+1}-2}{\sqrt{n}}=2<\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)<\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}} = 2$$

Así que, usando el Teorema del Sandwich, obtenemos $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=2$

Mi pregunta es ¿podemos resolver mediante el uso de cualquier otro método? Si sí, por favor explique aquí.

Answer 1

Por Cesaro-Stolz

$$\ldots = \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{k}}- \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} }{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{n+1}}(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{n+1 - n} = 2 $$

También, hay otro enfoque utilizando el teorema del sándwich que parallels su argumento sin recurrir a la integral.

Desde $\sqrt{k} + \sqrt{k-1} < 2\sqrt{k} < \sqrt{k} + \sqrt{k+1}$ encontramos los límites

$$2(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})=\frac{2}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} \leqslant \frac{1}{\sqrt{k}} \leqslant \frac{2}{\sqrt{k} + \sqrt{k-1}} = 2(\sqrt{k} - \sqrt{k-1}).$$

Como sumas de LHS y RHS son telescópicos, tenemos

$$2(\sqrt{n+1} - 1) \leqslant \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \leqslant 2\sqrt{n},$$

y

$$2(\sqrt{1+1/n} - 1/\sqrt{n}) \leqslant \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \leqslant 2.$$

Ahora aplique el teorema del sándwich.

Answer 2

A partir de la de Euler-Maclaurin Suma Fórmula, tenemos

$$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}&=\frac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx+\frac12\left(\frac{1}{n^{1/2}}-1\right)+O(1)\right)\\\\ &=2+O\left(\frac{1}{n^{1/2}}\right)\\\\ &\to 2\,\,\text{as}\,\,n\to \infty \end{align}$$