Explicación del método para demostrar \frac{0}{0}$ $ no está definido

Question

(Este fue preguntado debido a los comentarios y downvotes en este Stackoverflow respuesta. Yo no soy bueno en matemáticas, por lo que se preguntaba si había hecho alguna errores básicos)

Ignorando los límites, me gustaría saber si esto es una explicación válida de por qué $\frac00$ es indefinido:

$x = \frac00$
$x \cdot 0 = 0$

Por lo tanto, Hay un número infinito de valores de $x$ como cualquier cosa multiplicada por $0$ $0$.

Sin embargo, parece que tienen comentarios, con dos temas generales.

Una vez es que se pierden los valores de $x$ multiplicando por $0$.

La otra es que la última línea es:

$x \cdot 0 = \frac00 \cdot 0$

como se trata de una división por $0$.

Hay mérito alguno a cualquiera de los argumentos? Más al punto, ¿existen fallas importantes en mi explicación y existe una mejor manera de demostrar por qué $\frac00$ es indefinido?

Answer 1

Para "todas" las x,

$\frac0x = 0 \overset {?} \frac00 {\implies} = 0$

Para "todas" las x,

$$ \frac x x = 1 \overset {?} \frac00 {\implies} = 1$ $

Por otra parte, si se podría decir \frac00 $ = k, \forall k$, entonces podríamos decir $ $2 = 3, sólo divida ambos lados por 0 y conseguir $k = k$, que es evidentemente cierto.

Ya que no se que puede tener ningún valor razonable $\frac00$, $\frac00$ debe ser indefinido.

Answer 2

La existencia de un (multiplicativo) inversa de la (aditivo) el cero es incompatible con el otro campo axiomas. Como te has dado cuenta, el quid es que cualquier cosa que multiplicado por cero da cero. Veamos a continuación establecer este hecho en primer lugar.

0 es la identidad para la suma: $0+0=0$
multiplicar por algunos x: $(0+0)\cdot x=0\cdot x$
la distributividad: $0\cdot x + 0\cdot x = 0\cdot x$
agregar el inverso aditivo de $0\cdot x$ a ambos lados: $(0\cdot x + 0\cdot x) + (-(0\cdot x)) = 0\cdot x + (-(0\cdot x))$
la asociatividad de la suma: $0\cdot x + (0\cdot x + (-(0\cdot x))) = 0\cdot x + (-(0\cdot x))$
definición de "aditivo inverso": $0\cdot x + 0 = 0$
cero es la identidad aditiva: $0\cdot x = 0$

Supongamos ahora que existe un inverso multiplicativo de 0, denotado por Z.

(*) $0\times Z=1$

A partir de las dos últimas relaciones, 1=0, lo que contradice otro campo axioma (a menudo olvidado), que es:

$1\ne0$

Por lo tanto, usted acepta que el 0 no tiene inverso o cambiar al menos uno de los campo axiomas---no puedes tener ambas al mismo tiempo. En un sentido, es una cuestión de convención, que los axiomas que usted elija. En la práctica, algunos conjuntos de axiomas conducir a la más útil de las consecuencias. Por ejemplo, si desea 0 a tiene un inverso y soltar el axioma diciendo que 1 no es igual a 0, entonces la 'aritmética' usted termina haciendo no va a ser muy interesante.

En definitiva, estás en lo correcto.

Answer 3

Creo que el desconocimiento de los límites es problemático.

Si había un límite de la función $f(x,y)=x/y$ para $x,y \to 0$ independientemente de cómo el límite se realiza, entonces uno podría definir que el valor será de $f(0,0)$, incluso si todo lo demás es extraño. Dado que el valor de limitación depende de la forma en que el límite es de hecho, la elección de un valor de $f(0,0)$ es contraproducente, ya que da un no-función continua. Mejor tener una función continua sobre un pequeño dominio.

Esto también obliga al punto de que si usted tiene un límite de proceso que los resultados en la evaluación de $f(0,0)$, te das cuenta desde el principio que debe examinar el límite cuidadosamente en lugar de usar $\lim g(x) = g(\lim x)$ (lo cual sólo es cierto para funciones continuas, por supuesto).

Por cierto, esto podría ser demasiado trivial, pero me voy a dar un ejemplo de cómo el valor de limitación depende del límite:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$, (tanto $\sin(x)$ y $x$ 0 goto)

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0$ (de nuevo, tanto num y denum 0 goto, pero núm va "más rápido")

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x}}{x} =+\infty$.

PS, lo siento por el látex de notación, con suerte, se podría trabajar muy bien como en MO...

Answer 4

OK, aquí es una razón por qué dividiendo $0$ no tiene sentido...

Dividiendo $0$ significaría multiplicar por el inverso de $0$.

Sin embargo, la inversa de $x$ es el número $y$ que $x \times y = 1$.

Desde $\forall x \in \mathbb{R}, 0 \times x = 0$, $ $0 no tiene ningún lo contrario.

Por lo tanto, no puede dividirse por $0$.

Answer 5

Es indefinido porque $0/0 = 0$ es contra el $ identidad a/a = 1$. O al menos, eso es cómo yo lo entiendo, aunque hay probablemente más profundas explicaciones que involucran la consistencia de la álgebra.

Usted también podría aproximarse de una manera sencilla desde la dirección que lo que tienes es $0 ^ 1 \cdot 0 ^ {-1} $ que daría $0 ^ 0$ que es una expresión muy preocupante (y podría ser tomado como 0 o 1 dependiendo de la definición de exponentes).