Es la mediana de una "métrica" o un "topológica" de la propiedad?

Question

Pido disculpas por el ligero abuso de la terminología; espero que se convertirá en claro lo que quiero decir a continuación.

Considere la posibilidad de una variable aleatoria $X$. Tanto la media y la mediana puede ser caracterizado por un criterio de optimalidad: La media es que el número de $\mu$ que minimiza $\mathrm E((X - \mu)^2)$, y la mediana del número que minimiza $\mathrm E(|X - \mu|)$. En esta perspectiva, la diferencia entre la media y la mediana es la elección de la "métrica" para la evaluación de las desviaciones, la plaza o el valor absoluto.

Por otro lado, la mediana es ese número para que $\mathrm{Pr}(X \leq \mu) = \frac12$ (suponiendo la continuidad absoluta), es decir, esta definición sólo depende de la capacidad para el fin de los valores de $X$ y es independiente de cuánto difieren. Una consecuencia de esto es que por cada estrictamente creciente en función $f(x)$, $\mathrm{median}(f(X)) = f(\mathrm{median}(X))$, el significado es "topológico", en el sentido de la invariancia bajo "caucho" transformaciones.

Ahora he hecho los cálculos y sé que desde el criterio de optimalidad puedo llegar a la $\frac12$-cuantil, por lo tanto describir la misma cosa. Pero todavía estoy confundido, porque mi intuición me dice que algo que depende de una "métrica" no se puede llevar a un "topológica" de la propiedad.

Alguien puede resolver este enigma para mí?

Answer 1

La falla en tu razonamiento es que algo que depende de una métrica no puede ser una propiedad topológica.

Tomar la compacidad de la métrica de los espacios. Esto puede ser definido en términos de la métrica: compacidad significa que el espacio es completo (depende de la métrica) y totalmente acotados (depende de la métrica). Resulta sin embargo, que esta propiedad es un invariante bajo homeomorphism, y de hecho, puede ser definido en términos de sólo la topología finito (sub cubre de cualquier cubierta, de la forma habitual).

Otro ejemplo es el de las diversas teorías de homología. Sólo homología singular es verdaderamente topológico en su definición. Todos los demás, simplicial, celular, De Rham (cohomology, pero me conceda un poco de holgura), etc, dependen de extra estructura, pero resultan ser equivalentes (y un poco más fácil de trabajar).

Esto se ve mucho en las matemáticas, a veces la manera más fácil de ir sobre la definición de algo que es, en términos de algunos auxiliares de la estructura y, a continuación, se demuestra que el resultado de la entidad no, de hecho, dependen de la elección de los auxiliares de estructura.