Bonita Integral Simple

Question

Estoy tratando de encontrar la siguiente integral indefinida: $$ \int \sqrt{x^2+x^4}dx $$

Al principio, parece una sustitución u fácil después de factorizar un $x^2$ fuera de la raíz cuadrada, pero al hacerlo estamos haciendo la suposición implícita de que $x \in \mathbb{R}^+$ o cero. ¿Sería correcto hacer los dos casos, cuando x es positivo y x es negativo, o hay alguna manera de evitar esa suposición y llegar a una respuesta para ambos?

Answer 1

Debes considerar ambos casos $x\geq 0$, $x \lt 0$

$$\int \sqrt {x^2 + x^4} \,dx = \int |x|\sqrt{1+x^2}\,dx$$

Para $x\geq 0$, $\sqrt{x^2} = |x| = x$ tenemos $$\int x\sqrt{1+x^2} \,dx$$

Para $x\lt 0$ tenemos $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ $$\int -x\sqrt{1+x^2}\,dx = -\int x\sqrt{1+x^2}\,dx$$

En resumen, $$\int\sqrt{x^2 + x^4}\,dx = \pm \int x\sqrt{1 + x^2}\,dx.$$

donde la elección depende del signo de $x$.

Answer 2

Aquí está cómo abordaría el problema. Factor: $$\int\sqrt{x^2+x^4}dx=\int \sqrt{x^2(1+x^2)}dx$$ $$=\int \sqrt{x^2}\sqrt{(1+x^2)}dx$$ Identidad para $\sqrt{x^2}=|x|$: $$=\int |x|\sqrt{(1+x^2)}dx$$ En este punto, dividiría la integral y señalaría que es simétrica, porque el integrando es simétrico.

Prueba de simetría: $$f(x)=|x|\sqrt{1+x^2}$$ $$f(-x)=|-x|\sqrt{1+(-x)^2}=|x|\sqrt{1+x^2}$$

Entonces solo necesitamos hacer un lado, hagamos el lado positivo por conveniencia: $$=\int \sqrt{(1+x^2)}\cdot xdx \quad \forall x>0$$ Hacer una sustitución de u de lo siguiente: $u=1+x^2 \rightarrow du=2xdx \rightarrow xdx=\frac{du}{2}$ Por lo tanto: $$=\int \sqrt{(u)}\frac{du}{2}$$ $$=\frac{1}{2}\int (u)^{\frac{1}{2}}du$$ $$=\frac{1}{2}\frac{2}{3}(u)^{\frac{3}{2}}$$ $$=\frac{1}{3}(u)^{\frac{3}{2}}$$ La solución es: $$=\frac{1}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}}$$ Según la publicación de @amWhy, la otra integral simplemente factoriza un signo menos, por lo que la solución sería: $$=-\frac{1}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}}$$

Answer 3

Para obtener la antiderivada completa puedes mantener el $|x|$ en la integral. $$\int \sqrt{x^2+x^4} \; dx = \int |x| \sqrt{1+x^2} \; dx$$ para todo x.

Establece $u=1+x^2$ y luego $du = 2x\; dx$. Luego, sustituyendo tienes $$\frac{1}{2} \int \frac{|x|}{x} \sqrt{u} \; du$$

Observa que la función $$\frac{|x|}{x} = \Big\{ \begin{array}{cc} 1 & x>0 \\ -1 & x<0 \\ \end{array} $$

Estos son los dos casos. Si ignoras el $|x|$ para $x$ simplemente cancelarías la fracción. Puedes tratar esta función como una constante aquí recordando la restricción en $x$.

Luego haciendo la integral tienes $$\frac{1}{3} \frac{|x|}{x} (1+x^2)^{3/2}+C$$ que se puede reescribir usando $\sqrt{x^2} = |x|$ como $$\frac{\left(x^2+1\right) \sqrt{x^4+x^2}}{3 x}+C$$ Esto es válido para todo $x\neq 0$.