La cuestión es evaluar $$\lim_{n\rightarrow \infty} \sin((2n\pi + \frac{1}{2n\pi}) \sin(2n\pi + \frac{1}{2n\pi}))$$
Todo lo que podía hacer era ver que $$\sin(2n\pi + \frac{1}{2n\pi}))=\sin( \frac{1}{2n\pi})$$
Porque sí $\sin(2n\pi+\theta)=\sin(\theta)$ ..
Por lo tanto, ahora tenemos $$\lim_{n\rightarrow \infty} \sin((2n\pi + \frac{1}{2n\pi}) \sin( \frac{1}{2n\pi}))$$
Ahora, como $\lim _{x\rightarrow \infty}x\sin(\frac{1}{x})=1$ tendríamos $$\lim_{n\rightarrow \infty}2n\pi \sin( \frac{1}{2n\pi})=1$$
Por lo tanto, ahora tenemos $$\lim_{n\rightarrow \infty} \sin(1 + \frac{1}{2n\pi} \sin( \frac{1}{2n\pi}))$$
Ahora, como $\sin(x)$ está acotada y $\frac{1}{2n\pi} \rightarrow 0$ tendríamos
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2n\pi} \sin( \frac{1}{2n\pi})=0$$
Por lo tanto, ahora nos quedaría :
$$\lim_{n\rightarrow \infty} \sin(1)=\sin(1)$$
Después de todo me gustaría decir que como $\sin (x)$ es continuo puedo llevar límites dentro.
Así, tenemos $$\lim_{n\rightarrow \infty} \sin((2n\pi + \frac{1}{2n\pi}) \sin(2n\pi + \frac{1}{2n\pi}))=\sin 1$$
Me gustaría que alguien comprobara si lo he hecho correctamente y agradecería si alguien me puede indicar si hay que especificar algo más para hacerlo.
Gracias... :)
