Significado de comenzar la secuencia de Fibonacci con 0, 1....

Question

ACLARACIÓN: No me ocupo a diario de las matemáticas en profundidad como algunos de ustedes, así que disculpen mi ignorancia o falta de coherencia en este tema.

PREGUNTA: ¿Cuál es el significado de comenzar la secuencia de Fibonacci con $0,1$ ?

Por ejemplo, si eligiera dos números enteros al azar, digamos 2 y 7, para iniciar una secuencia, ¿estaría realmente creando algún múltiplo o derivación de la secuencia de Fibonacci?

¿Existe una explicación matemática general para la relación entre cualquier secuencia representada por $a[0] = x, a[1] = y, a[n] = a[n-1] + a[n-2]$ y la secuencia de Fibonacci?

O, volviendo a mi secuencia de ejemplo, ¿existe una relación matemática general entre:

$2,7,9,16,25,41,66,107,173,280...$

y

$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34...$

¿Quizás la proporción áurea lo explique de alguna manera? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Sí, estas secuencias están estrechamente relacionadas, y la relación implica la proporción áurea.

Dejemos que $\varphi=\frac12(1+\sqrt5)$ y $\widehat\varphi=\frac12(1-\sqrt5)$ ; $\varphi$ es, por supuesto, la proporción áurea, y $\widehat\varphi$ es su recíproco negativo. Sea $a_0$ y $a_1$ sea arbitraria, y definir una secuencia tipo Fibonacci mediante la recurrencia $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ para $n\ge 2$ . Entonces hay constantes $\alpha$ y $\beta$ tal que

$$a_n=\alpha\varphi^n+\beta\widehat\varphi^n\tag{1}$$

para cada $n\ge 0$ . De hecho, se pueden encontrar sustituyendo $n=0$ y $n=1$ en $(1)$ y resolver el sistema

$$\left\{\begin{align*} a_0&=\alpha+\beta\\ a_1&=\alpha\varphi+\beta\widehat\varphi \end{align*}\right.$$

para $\alpha$ y $\beta$ . En el caso de los propios números de Fibonacci, $\alpha=\frac1{\sqrt5}$ y $\beta=-\frac1{\sqrt5}$ ; en el caso de la Números de Lucas $L_n$ para los que los valores iniciales son $L_0=2$ y $L_1=1$ , $\alpha=\beta=1$ .

Answer 2

Para cualquier secuencia $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$ que satisface la recurrencia de Fibonacci, tenemos $$a_n=(a_1-a_0)f_n+a_0f_{n+1},$$ donde $f_0,f_1, f_2, \dots$ es la secuencia de Fibonacci.

Para demostrarlo, dejemos que $b_n=(a_1-a_0) f_n+a_0f_{n+1}$ . Tenga en cuenta que $b_0=a_0$ y $b_1=a_1$ . Las dos secuencias $(a_n)$ y $(b_n)$ "comienzan" de la misma manera, y satisfacen la misma recurrencia, por lo que son iguales.

Answer 3

Llamemos a una secuencia "fibonacci-like" si satisface la recurrencia $$s_{n+2} = s_n + s_{n+1}$$ para todos $n$ . Es fácil ver (o demostrar) que si $\{s_i\}$ y $\{t_i\}$ son dos secuencias de tipo fibonacci, entonces también lo es $\{s_i+t_i\}$ y también lo es $\{cs_i\}$ donde $c$ es una constante cualquiera. Así, la colección de secuencias de tipo fibonacci forma un espacio vectorial. La dimensión del espacio vectorial es 2, ya que especificando dos elementos de la secuencia (digamos $s_0$ y $s_1$ ) son suficientes para determinarlo completamente.

Así que abreviemos dicha secuencia como $[s_0, s_1]$ . La secuencia estándar de Fibonacci $0,1,1,2,3,\ldots$ se escribe como $[0,1]$ en esta notación. La secuencia de Lucas $\mathcal L_i = 1,3,4,7,11,\ldots$ se escribe $[1,3]$ .

Dado que el espacio de todas las secuencias de tipo fibonacci es un espacio vectorial bidimensional, dos elementos cualesquiera formarán una base para él, a menos que uno sea múltiplo del otro. Por ejemplo, una base simple y estándar para este espacio vectorial son los dos vectores $[0,1]$ y $[1,0]$ . La primera es simplemente la secuencia estándar de Fibonacci. La segunda es la secuencia $1,0,1,1,2,3,5,\ldots$ que no es más que la secuencia estándar de Fibonacci desplazada una posición hacia la derecha; su $i$ Este elemento es $f_{i-1}$ El $(i-1)$ número de Fibonacci.

Consideremos ahora la secuencia general tipo Fibonacci $[p,q]$ :

$$[p,q] = p[1,0] + q[0,1]$$

Así que el $i$ elemento de la secuencia $[p,q]$ es exactamente $$pf_{i-1} + qf_i.$$ Por ejemplo, la secuencia de Lucas tiene $$\mathcal L_i = f_{i-1} + 3f_i.$$ De manera similar, su secuencia de ejemplo es $[2,7]$ y, por tanto, se relaciona con la secuencia de Fibonacci mediante $$[2,7] = 2[1,0] + 7[0,1] = 2f_{i-1} + 7f_i.$$

Dos secuencias cualesquiera forman una base del espacio siempre que no sean múltiplos una de otra. Por ejemplo, cualquier secuencia de tipo fibonacci puede expresarse de la forma $s_i = af_i + b\mathcal L_i$ para algunas constantes $a$ y $b$ . Para su $[2,7]$ secuencia, queremos $[2,7] = a[0,1] + b[1,3] = [b,a+3b]$ . Así que $b=2$ y $a=1$ y obtenemos $[2,7] = f_i + 2\mathcal L_i$ .

Consideremos ahora la secuencia de Fibonacci, pero desplazada a la izquierda por $k$ lugares, cuya $i$ Este elemento es $f_{i+k}$ para cada $i$ . Entonces, los dos primeros términos de la secuencia de fibonacci $\{f_{i+k}\}$ son $f_k$ y $f_{k+1}$ obtenemos $$\{f_{i+k}\} = [f_k, f_{k+1}] = f_k[1,0] + f_{k+1}[0,1] = f_kf_{i-1} + f_{k+1}f_i$$ y acabamos de demostrar la fórmula de la suma de índices para los números de fibonacci. Tomemos $i=k$ en esto y obtenemos $$f_{2k} = f_kf_{k-1} + f_{k+1}f_k$$ que es útil para calcular rápidamente números de Fibonacci extremadamente grandes.