No Isomorfos Grupo De Extensiones

Question

Esta es una pregunta de un conjunto de problemas en grupo cohomology, un tema que acabo de empezar a aprender.

Deje $B$ ser un grupo finito y $A$ ser abelian. Estoy buscando dos grupos de $G_1$ $G_2$ tal que $G_1$ $G_2$ son isomorfos como los grupos, pero $$1\rightarrow A\rightarrow G_1\rightarrow B\rightarrow 1$$ and $$1\rightarrow A\rightarrow G_2\rightarrow B\rightarrow 1$$ no son isomorfos como extensiones.

Se ha sugerido que utilizo $A=C_3^2$$B=C_2$. Sin embargo, dado que las órdenes de $A$ $B$ son relativamente primos en este caso, no el Shur-Zassenhaus Lema garantía de que la secuencia se divide de modo que no es sólo una extensión? Si este es el caso, entonces ¿cómo podemos producir dos no es isomorfo extensiones? Si alguien podría señalar dónde estoy confundido, yo estaría muy agradecido.

Gracias.

Answer 1

Creo que el "más pequeño" contra-ejemplo es el siguiente :

Aquí me denotar $\mathbb{Z}_k$ el grupo $\frac{\mathbb{Z}}{k\mathbb{Z}}$. Tomar $A:=\mathbb{Z}_2$, $G_1=G_2=G=\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2$ y $B:=\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ abelian grupos. Tiene dos inyecciones :

$$\alpha: A\rightarrow G$$

$$a\mapsto (0,a)$$

y :

$$\alpha': A\rightarrow G$$

$$a\mapsto (2a,0)$$

Esos mapas son claramente monomorphisms de grupos. Además no es difícil ver que $G/\alpha(A)=G/\alpha'(A)=B$. Por lo tanto hemos hecho obtener dos extensiones de $B$$A$ :

$$0 \rightarrow A \overset{\alpha}{\rightarrow} G \overset{\beta}{\rightarrow} B \rightarrow 0\text{ and }0 \rightarrow A \overset{\alpha'}{\rightarrow} G \overset{\beta'}{\rightarrow} B \rightarrow 0$$

Claramente $G_1$ $G_2$ son isomorfos como abelian los grupos, pero las extensiones no pueden ser isomorfos, si eran isomorfos, entonces no habría un automorphism $\Phi$ $G$ tal forma que :

$$\Phi\circ \alpha =\alpha'$$

En particular :

$$\Phi(0,1)=(2,0)$$

Pero esta imposible, porque si definimos $a:=\Phi^{-1}(1,0)$, entonces :

$$\Phi(a+a)=(1,0)+(1,0)=(2,0)$$

Por lo tanto $a+a=(0,1)$ pero si $a=(a_1,a_2)$$a+a=(2a_1,0)\neq (0,1)$. Por tanto, una $\Phi$ no puede existir, por tanto, las extensiones no son equivalentes.