$\epsilon$-$\delta$ la prueba de que $\lim_{x \to 1} \sqrt{x} = 1$

Question

Estoy tratando de enseñarme a cómo hacer $\epsilon$-$\delta$ pruebas y quisiera saber si puedo resolver esta prueba correctamente. La respuesta dada (Spivak, pero en las soluciones de libro) era muy diferente.

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Ejercicio: Probar $\lim_{x \to 1} \sqrt{x} = 1$ usando $\epsilon$-$\delta$.

Mi Prueba:

Tenemos que $0 < |x-1| < \delta$.

También, $|x - 1| = \bigl|(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)\bigr| = |\sqrt{x}-1||\sqrt{x}+1| < \delta$.

$\therefore |\sqrt{x}-1|< \frac{\delta}{|\sqrt{x}+1|}$

Ahora nos vamos a $\delta = 1$. Entonces $$\begin{array}{l} -1<x-1<1 \\ \therefore 0 < x < 2 \\ \therefore 1 < \sqrt{x} + 1<\sqrt{2} + 1 \\ \therefore \frac{1}{\sqrt{x} + 1}<1. \end{array}$$

Tuvimos que $$|\sqrt{x}-1|< \frac{\delta}{|\sqrt{x}+1|} \therefore |\sqrt{x}-1|<\delta$$

Dejando $\delta=\min(1, \epsilon)$, obtenemos que $|\sqrt{x}-1|<\epsilon$ si $0 < |x-1| < \delta$.

Por lo tanto, $\lim_{x \to 1} \sqrt{x} = 1$.

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Es mi prueba correcta? Hay una manera mejor de hacerlo (todavía en uso $\epsilon-\delta$)?

Answer 1

La prueba es correcta, pero puede ser simplificado. Usted no necesita la parte "Ahora vamos a $\delta=1$...". En realidad es siempre verdadera que $$\frac{1}{\sqrt x + 1} \le 1$$ desde $\sqrt x \ge 0$.

También, una cuestión de estilo. En la primera línea no ha $0 < |x-1|<\delta$ pero supongamos que (esto es debido a que $\delta$ no está ya dado, sino que tiene que ser encontrado todavía). El mismo cuando escribe "vamos a $\delta = 1$" se debe escribir "si $\delta \le 1$ ..."

Answer 2

La prueba es correcta.
También podemos adoptar la siguiente:
Desde $|\sqrt x-1|\lt \epsilon$ es equivalente a $1-2\epsilon+\epsilon^2\lt x\lt 1+2\epsilon+\epsilon^2$, se puede elegir $\delta$, de modo que $0\lt\delta\lt \min\{|-2\epsilon+\epsilon^2|,|2\epsilon+\epsilon^2|\}$.
Espero que esto ayude.

Answer 3

Mediante su trabajo aquí es de otro sabor de esta prueba:

Deje $\epsilon >0$, y poner $\delta= \epsilon(\sqrt{x}+1)$.

Suponga $0<|x−1|<\delta$.

Entonces $$|F(x)−L|=|x−1| =∣(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)∣.$$ Por nuestra suposición de que $0<|x−1|<\delta$, tenemos $$|F(x) - L| <|1/(\sqrt{x}+1)|\delta = (1/(\sqrt{x}+1))ϵ(\sqrt{x}+1)) = \epsilon.$$

Dejando $\delta=\epsilon(\sqrt{x}+1)$, obtenemos que $|x−1|<\epsilon$ si 0<|x−1|<δ. Por lo tanto, $\lim_{x\to 1} F(x) = L$

El cero de trabajo es generalmente omitido tan lejos como la búsqueda de la co-eficiente del mismo delta. A continuación, sólo tienes que encontrar la co-eff inversa e incluyen epsilon y cae en la final. Hay un buen enlace en matemáticas de cambio que muestra una plantilla de cómo la estructura de delta, epsilon pruebas. Es cómo aprendí a escribir de ellos, y este es el método. La buena suerte.

P. S. * representa la multiplicación, y las raíces cuadradas no estaban trabajando. No estoy familiarizado con el Látex, así que esto es lo mejor que puedo hacer.