Algún método para solucionar $\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{2}} dx$ y algunas dudas.

Question

El primer enfoque.

$\int \frac{1}{1+x^2} dx=\frac{x}{1+x^2}+2\int \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^2} dx=\frac{x}{1+x^2}+2\int \frac{1}{1+x^2}dx-2\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^2}dx$

A partir de esta relación, me sale:

$2\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^2}dx=\frac{x}{1+x^2}+\int \frac{1}{1+x^2}dx$ , Entonces:

$\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^2}dx=\frac{1}{2}\left[\frac{x}{1+x^2}+\arctan x\right]+C$ Es una solución recursiva.

El segundo enfoque.

$x=\tan t$ $t\in (- \pi/2, \pi/2)$ , es decir,$t=\arctan x$,$dx=(1+x^2) dt$.

$\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^2}dx=\int \frac{1}{1+x^2}dt=\int \frac{\cos^2t}{\sin^2t+\cos^2t}dt=\int \cos^2t dt=\frac{1}{2}\int \left(1+\cos 2t \right) dt=\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin 2t$

Este resultado puede ser reescrito (utilizando fórmulas trigonométricas):

$\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin 2t=\frac{t}{2}+\frac{1}{2}\sin t \cos t$

De $\cos^2 t=\frac{1}{1+x^2}$, tengo:

$|\cos t|=\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}$ , pero en $t\in (- \pi/2, \pi/2)$, $|\cos t|=\cos t$. Así:

$\cos t=\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}$. Ahora tengo un problema: $|\sin t|=\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}$, pero $|\sin t|\neq \sin t$$t\in (- \pi/2, \pi/2)$. Cualquier sugerencia, por favor? Esta integral se puede resolver de otras maneras?

Gracias.

Answer 1

Esta integral se puede evaluar de la misma forma como se muestra a continuación :

$$\int \frac{1}{a^2+x^2} dx=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} +c(a) $$

$$\frac {d}{da} (\int \frac{1}{a^2+x^2} dx)= \frac {d}{da}(\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} +c(a) ) $$

$$\int \frac{-2a}{(a^2+x^2)^2} dx= \frac{-1}{a^2} \arctan \frac{x}{a} + \frac{1}{a} \frac{-x/a^2}{(1+x^2/a^2)}+c_1(a) ) $$

para $a=1$

$$-2\int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx= - \arctan x + \frac{-x}{(1+x^2)}+c_1(1) $$

$$\int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx= \frac{1}{2} \arctan x + \frac{x}{2(1+x^2)}+k $$

Answer 2

Si utilizamos esta identidad $\sin(2t)=\frac{2\tan(t)}{1+\tan^2(t)}$, la confusión no debe surgir.

Answer 3

Una manera de hacer que el trigonométricas solución de sustitución de la solución final muy bien, sin preocupaciones acerca de los signos, se nota que $$\sin t \cos t =\frac{\sin t}{\cos t} \cos^2 t.$$

Desde $\cos^2 t=\frac{1}{\sec^2 t}=\frac{1}{1+\tan^2 t}$, obtenemos que $$\sin t \cos t =\tan t\frac{1}{1+\tan^2 t}=\frac{x}{1+x^2}.$$

De otra manera: La siguiente está más cerca de su cálculo. Utilice el hecho de que $\sin t\cos t$ tiene el mismo signo de $\tan t$ a resolver las ambigüedades de la señal. Sabemos de su cálculo que $\sin t \cos t =\pm \frac{x}{1+x^2}$. Pero esto tiene el mismo signo de $\tan t$, es decir, el mismo signo de $x$. Que resuelve el $\pm$ problema en favor de las $\frac{x}{1+x^2}$, que tiene el mismo signo de $x$.