La evaluación de $\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} e^{2\cos{\theta}} d\theta$

Question

Me encontré con esta integral cuando se calcula el volumen de una familia de polytopes y no estoy seguro de cómo evaluar analíticamente (sé que Wolframalpha dice 2.27...). Alguna idea? He intentado utilizar el análisis complejo (de Cauchy de la Integral de Fórmula, Teorema de los Residuos, etc.) pero nada parecía aplicable.

$$\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} e^{2\cos{\theta}} d\theta$$

Answer 1

Me permito publicar mi comentario como una respuesta ya que no hay mucho más que decir aquí.

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Mathematica dice que esta integral es igual a $I_0(2)$ donde $I_0$ denota la función Bessel modificada de $0$ésimo orden. Es una sencilla consecuencia de su representación de enteros (véase la fórmula (4) aquí).

Funciones de Bessel no se reducen a simples expresiones en valores enteros del argumento (con la excepción de$0$), ni para la orden de $0$, lo que significa que esta expresión no se puede simplificar más.

Answer 2

$$ I=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi e^{2\cos\theta}\,d\theta=\frac{1}{\pi}\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{k!}A_k, $$ con $$ A_k=\int_0^\pi\cos^k\theta\,d\theta \quad \forall k \ge 0. $$ Tenemos $$ A_0=\int_0^\pi\,d\theta=\pi. $$ Para cada $k \ge 1$, si fijamos $\varphi=\pi-\theta$, luego $$ \int_{\pi/2}^\pi\cos^k\theta\,d\theta=\int_0^{\pi/2}\cos^k(\pi-\varphi)\,d\varphi=(-1)^k\int_0^{\pi/2}\cos^k\varphi\,d\varphi. $$ Theorefore, para cada $k \ge 1$ hemos $$ A_k=\int_0^{\pi/2}\cos^k\theta\,d\theta+\int_{\pi/2}^\pi\cos^k\theta\,d\theta=[1+(-1)^k]\int_0^{\pi/2}\cos^k\theta\,d\theta. $$ Podemos deducir que $A_{2k+1}=0$ todos los $k \ge 0$. Para cada $k\ge 1$ hemos \begin{eqnarray} B_k&:=&A_{2k}=2\int_0^{\pi/2}\cos^{2k}\theta\,d\theta=2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)'\cos^{2k-1}\theta\,d\theta\\ &=&2(2k-1)\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^{2k-2}\theta\,d\theta=2(2k-1)\int_0^{\pi/2}(1-\cos^2\theta)\cos^{2k-2}\theta\,d\theta\\ &=&(2k-1)(B_{k-1}-B_k), \end{eqnarray} es decir, $$ B_k=\frac{2k-1}{2k}B_{k-1} \quad \forall k \ge 1. $$ Así $$ B_k=\frac{(2k-1)\cdot(2k-3)\ldots3\cdot1}{(2k)\cdot(2k-2)\ldots4\cdot2}B_0=\frac{(2k)!}{[(2k)(2k-2)\ldots4\cdot2]^2}B_0=\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2}\pi. $$ La integral dada es entonces $$ I=\frac{1}{\pi}\sum_{k=0}^\infty\frac{2^{2k}}{(2k)!}A_{2k}=\frac{1}{\pi}\sum_{k=0}^\infty\frac{2^{2k}}{(2k)!}\cdot\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2}\pi=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(k!)^2}. $$