Si $\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)$,$A=B$?

Question

Demostrar, refutar, o dar un contraejemplo:

Si $\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)$,$A=B$.

Suponga $\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)$. Ya sabemos $A \subseteq A$, sabemos $A \in \mathcal{P}(A)$.

Desde $\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)$, sabemos que $A \in \mathcal{P}(B)$.

Por lo tanto, $A \subseteq B$$A=B$.

Es esto una prueba de bien?

Edit: debo señalar que esta no es la probabilidad, $\mathcal{P}$ es el juego de poder.

Answer 1

Usted puede probar: $$\bigcup \mathcal{P}(A)=A$$$$\bigcup\mathcal{P}(B)=B$$ and by hypothesis you have $\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)$ therefore $$B=\bigcup\mathcal{P}(B)=\bigcup\mathcal{P}(A)=A$$

Answer 2

Todo en su respuesta es correcta hasta que la implicación "por lo $A \subseteq B$$A=B$". La segunda implicación (es decir, que $A=B$ aún no está justificado). A fin de mantener sólo la primera, es decir, que $$A \subseteq B \tag 1$$ Reason in exactly the same way to deduce that $$B \subseteq A \tag2$$ Now combining $(1)$ and $(2)$ yields the result $$A=B$$

Answer 3

La prueba está casi bien. Necesita argumentar por qué $B\subseteq A$. Pero sigue por el mismo argumento.

Answer 4

$A\in \mathcal P (A)\rightarrow A \in \mathcal P (B)\rightarrow A\subset B$

$B\in \mathcal P (B)\rightarrow B \in \mathcal P(A)\rightarrow B\subset A$

El uso de las conclusiones de cada línea de $A=B$

Answer 5

Si conocemos $A$ podemos determinar de manera inequívoca $\mathcal{P}(A)$ y si sabemos $\mathcal{P}(A)$ podemos determinar de manera inequívoca, como elemento de $\mathcal{P}(A)$, lo que incluye cualquier subconjunto , así que si $A=B$ $\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)$ e si $A\neq B$ $\mathcal{P}(A)\neq\mathcal{P}(B)$ lo que completa la prueba de su teorema.

Otra manera de probar: $$(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B))\implica [(A\in\mathcal{P}(B)) \wedge (B\in\mathcal{P}(A))]\implica [(A \subseteq B) \wedge (B \subseteq A)]\\ [(A \subseteq B) \wedge (B \subseteq A)] \implica [(A\cup B=B) \wedge (B\cup a=a)]\implica (A=B)$$

PS. -1 como la calificación de mi respuesta está más en contra de la reputación de math.stackexchange.com , que el mío.