Integral de la $(1, 1)$ formas y holomorphic línea de paquetes

Question

Deje $X$ ser un complejo colector.

Decimos que un cohomology de clase en $H^2(X,\mathbb{C})$ es integral si se encuentra en la imagen de la natural de morfismos $j : H^2(X,\mathbb{Z}) \longrightarrow H^2(X,\mathbb{C})$.

Definir la primera clase de Chern de un holomorphic línea bundle $L \in \text{Pic}(X)$ $X$ como la imagen de $L$ por debajo del mapa de los límites de $c_1: \text{Pic}(X) \cong H^1(X,\mathcal{O}^*_X) \longrightarrow H^2(X,\mathbb{Z})$.

Pregunta: Dado un $d$-cerrado diferencial de la forma $\omega$ tipo $(1,1)$ $X$ integral a la clase $[\omega] \in H^2(X,\mathbb{C})$, no se sigue automáticamente que existe una holomorphic línea bundle $L \in \text{Pic}(X)$ de manera tal que la imagen de $c_1(L)$ bajo $j$ es igual a $[\omega]$, hasta algunos $2\pi i$ factor, o algo así?

Me gustaría una respuesta sin suponiendo que $X$ es compacto Kähler, por lo que el teorema de Lefschetz en $(1,1)$ clases no se aplica.

También, en caso de que la respuesta es positiva, ¿alguien puede señalar una referencia?

Answer 1

Vamos a utilizar el siguiente teorema que se indica en D. Huybrechts Geometría Compleja (Teorema de 2.6.26) (Una prueba que utiliza el Newlander-Nirenberg teorema se puede encontrar aquí):

Teorema: Vamos a $E$ ser un vector complejo paquete en un complejo colector de $X$. Un holomorphic estructura está determinada únicamente por una $\mathbb C$-lineal operador $\bar \partial_E : \mathscr A^0 (E) \to \mathscr A^{0,1} (E)$ que satisface el Leibniz de la regla y $\bar \partial_E^2 = 0$.

Ahora vamos a $\omega$ $(1,1)$forma parte integral de la clase $[w]$. La segunda condición implica que hay una suave línea del complejo paquete de $L$, de modo que $c_1(L) = [w]$. Deje $D$ ser cualquier complejo de conexión en $L$. A continuación, $[D^2] = [w]$ y hay una forma de $a$, de modo que $D^2 + da = \omega$. Ahora vamos a $\bar\partial_L$ ser la proyección de $D+a$$\mathscr A^{0,1}(L)$. A continuación, $\bar\partial^2_L = 0$ $(D+a)^2 = D^2 + da = \omega$ no $(0,2)$ part. Por lo tanto $L$ tiene un holomorphic estructura definida por $\bar\partial_L$.