Cuando hace un cohomology de la teoría tiene una estructura de anillo?

Question

He mirado alrededor y yo no puedo parecen encontrar una respuesta a esta pregunta. Cuando hace un cohomology de la teoría de admitir un no trivial de la estructura del producto? Yo estaba tratando de calcular un cohomology anillo de una estructura de CW y yo simplemente no podía encontrar cualquier definición razonable para la copa del producto en CW espacios. Hace tal cosa existe? Si no hay condiciones para un cohomology teoría que permite una definición natural de una copa del producto? Obviamente se podría definir algunos artificial de la copa de la estructura del producto a través de singular o de homología simplicial, pero, ¿qué acerca de la Cech Cohomology o de cualquiera de la extraordinaria cohomology teorías?

Answer 1

La estructura de anillo en cohomology aristas de la siguiente manera. Tenemos una natural mapa $$ \triángulo:X\rightarrow X\X veces $$ que envía a $x\mapsto (x,x)$ la diagonal. Así, en cohomology, tenemos un buen mapa $$ \triángulo^*:H^k(X\X veces)\rightarrow H^k(X), $$ desde cohomology es contravariante. Ahora, para el buen cohomology teorías que uno puede hacer sentido de un mapa $$ P=H^i(X)\times H^j(Y)\rightarrow H^{i+j}(X\times Y) $$ Tomando $X=Y$ uno puede componer estos mapas para obtener una estructura de anillo $$ \triángulo P:H^i(X)\times H^j(X)\rightarrow H^{i+j}(X). $$ Esto se explica un poco en Nacedoras libro http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf en la página 185. Así que para cualquier cohomology teoría tiene que ser capaz de dar sentido a la mapa $P$.