¿Por qué es una variedad de tipo general hiperbólico?

Question

He escuchado a gente menciona esto en una sola frase, pero no veo la razón.

¿Por qué un (suave) variedad de tipo general, es decir, una variedad algebraica X con K_X grande, es hiperbólica, es decir, no tiene ningún no-constante mapa de los números complejos?

Yo no sé lo que son las hipótesis necesaria en la variedad, necesitamos propio o suavidad?

Edit: según David Lehavi la respuesta, sin duda, deberíamos poner un poco mas de condición. ¿Cuál es la afirmación correcta de la realidad?

Answer 1

Usted debe estar pensando de Lang conjetura que predice que una suave variedad proyectiva es (Brody) hiperbólico si y sólo si todos los de su irreductible subvariedades son de tipo general.

Este no es conocido aún en general, pero hay muchos casos especiales que se conocen. Un buen ejemplo es McQuillan del teorema - en una superficie lisa de tipo general que satisface $c_{1}^{2} > c_{2}$ y no contiene ningún racional o curvas elípticas es Brody hiperbólica.

Answer 2

Seguramente usted necesita algunos supuestos sobre su variedad, por ejemplo, para cada $n$ no es una superficie lisa de grado $n$ $CP^3$ que contiene una línea, para $n>3$ dichas superficies son mínimos y de tipo general. Así que para las grandes clases de variedades de tipo general, usted necesita un adicional de la suposición de que la variedad debe ser genérico.

Para hypersufaces en $CP^n$ el más optimista se puede esperar que un genérico hipersuperficie de grado $2n+1$ es hiperbólica (hypersurfaces de grado $2n-1$ y menos siempre contienen líneas). Esto está relacionado con una conjetura de Kobayshi. Hay una muy buena revisión de Claire Vosin sobre diferentes aspectos de la hyperbolicity de complejo proyectiva colector de que usted puede encontrar aquí http://people.math.jussieu.fr/~voisin/Articlesweb/harvard.pdf (esto también contiene el resultado mencionado por Tony Pantev)

Recientemente hubo un genuing progreso en la demostración de la conjetura Kobayashi http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0811/0811.2346v4.pdf a pesar de que el obtenido obligado está muy lejos del óptimo, lo que es peor que un triple exponente de n. En la conferencia debido a que el 80 cumpleaños de Atiyah Kirwan annonced que se puede conseguir mucho más realista obligado.

Answer 3

usted puede volar de un punto en un tipo general de la superficie, y obtener un general tipo de superficie que contiene una copia de la C.