¿Qué buen ejemplo se puede dar a un principiante para motivar realmente la idea de una categoría de rodajas, antes de que haya conocido la noción más general de una categoría de comas?
Está el ejemplo de juguete de una categoría poset con las rebanadas como ideales principales -- pero eso no provoca exactamente el pensamiento "¡Si! Eso es bastante interesante..."
Si $P$ es un orden parcial y $a \in P$ entonces el intervalo $[a,\infty]$ no es otra cosa que la categoría de la tajada $a / P$ . Si $a,b \in P$ con $a \leq b$ entonces $[a,b] = (a / P)/b$ .
A colorear de un conjunto $X$ por $r$ colores $c=\{c_1,\dotsc,c_r\}$ es sólo un mapa $X \to \{c_1,\dotsc,c_r\}$ . La categoría de rodajas $\mathsf{Set}/c$ es la categoría de $c$ -conjuntos coloreados, que desempeña un papel en la combinatoria.
En la topología algebraica a menudo necesitamos puntos base; por ejemplo, para dar sentido al grupo fundamental. A espacio topológico puntiagudo es un par $(X,x_0)$ que consiste en un espacio topológico $X$ y un punto $x_0 \in X$ . Pero tal punto es lo mismo que un morfismo $\{*\} \to X$ . Por lo tanto, la categoría de espacios topológicos puntuales es simplemente la categoría de cortes $\{*\} / \mathsf{Top}$ .
Si $R$ es un anillo conmutativo, entonces la categoría de los anillos conmutativos $R$ -es (isomorfa a) la categoría de cortes $R / \mathsf{CRing}$ .
El coproducto de dos conmutativas $R$ -algebras $A,B$ es $A \otimes_R B$ el coproducto de dos espacios puntuales $X,Y$ es $X \vee_{*} Y$ (suma de cuñas). Ambos resultados pueden verse como casos especiales del hecho general de que los coproductos en una categoría de trozos $X / C$ son sólo empujones en $C$ (sobre $X$ ).
En la teoría general de categorías, las categorías de corte se utilizan para cambiar entre varias nociones de propiedades universales. Esto es útil, por ejemplo, para deducir el Teorema del Funtor Adjunto de Freyd a partir del criterio de Freyd para la existencia de objetos iniciales.
En general, si $X$ es un objeto de una categoría $C$ entonces a menudo uno se refiere a $C / X$ como la categoría de los objetos en $X$ . La imagen mental es la siguiente: $$\begin{array}{c} Y \\ \downarrow \\ X \end{array}$$ Grothendieck sugirió pensar en estos objetos como "fibraciones generalizadas". Si $C$ es una categoría de objetos geométricos (por ejemplo, esquemas, pilas, espacios topológicos, colectores topológicos, colectores lisos, orbifolds), entonces solemos buscar una subcategoría completa de $C / X$ con algunas suposiciones geométricas sobre $Y \to X$ (por ejemplo, isomorfismo local, también conocido como gavilla, recubrimiento, fibración, haz vectorial, haz principal) y tratar de entender $X$ a través de esta subcategoría de objetos sobre $X$ .
Si $K$ es un campo, entonces $\mathsf{Vect}_K ~ / ~ K$ tras eliminar los homomorfismos triviales $0 : V \to K$ es equivalente a la categoría de espacios afines sobre $K$ ("espacios vectoriales que han olvidado su origen"). Esta descripción facilita la búsqueda de límites y colímites de los espacios afines.
Si $X$ es un conjunto, la categoría de trozos $\textsf{Set}/X$ puede considerarse como la categoría de $X$ -colecciones indexadas de conjuntos, donde un objeto $f:Y\to X$ corresponde a la $X$ -colección indexada de fibras $\{Y_x = f^{-1}\{x\}\mid x\in X\}$ y un morfismo de $f:Y\to X$ a $g:Z \to X$ corresponde a un mapa de conjuntos $Y_x\to Z_x$ para cada $x\in X$ .
Esto nos lleva a la observación de que el producto de fibra $Y\times_X Z$ es sólo el producto en la categoría de trozos, y en la categoría de conjuntos corresponde a tomar el producto sobre cada fibra: $\{Y_x\times Z_x\mid x\in X\}$ .
Además, esta intuición sobre el significado de la categoría de trozos es útil en otros contextos, por ejemplo, en geometría algebraica pensando en un mapa de esquemas $X\to S$ como una familia algebraica indexada por el esquema base $S$ . O en teoría de modelos (ya que eres un lógico), pensando en un mapa definible de conjuntos definibles $X\to Y$ como una familia definible de conjuntos definibles indexados por $Y$ . Hasta un isomorfismo definible, esto puede ser arreglado para ser un mapa de proyección, así que cuando proyectamos el conjunto $\phi(M)$ definido por $\phi(\bar{x},\bar{y})$ en el $\bar{y}$ coordenadas, obtenemos la familia $\{\phi(M,\bar{b})\mid \bar{b}\in \exists \bar{x}\,\phi(\bar{x},M)\}$ .
Desde la perspectiva de lógica categórica Las categorías de rodajas también son interesantes.
En primer lugar, recordemos que el principio principal de la lógica categórica es que las estructuras categóricas surgen de varias formas de cálculos lógicos teniendo las proposiciones como objetos y las pruebas o la demostrabilidad (dependiendo de si el cálculo incluye pruebas o no) como morfismos (hasta cierta equivalencia).
Pasar a la categoría de rebanada sobre un objeto $P$ entonces significa estudiar el cálculo lógico en el contexto de $P$ .
Consideremos el ejemplo más sencillo de la lógica proposicional, la intuicionista. En él, teniendo proposiciones $P$ hasta la equivalencia lógica como objetos y la demostrabilidad de $P\to Q$ como el conjunto de morfismos $\text{Hom}(P,Q)$ da lugar al concepto de Álgebra de Heyting : una categoría cerrada cartesiana esquelética en la que cualquier conjunto de morfismos está vacío o es un singleton.
En tal álgebra de Heyting ${\mathcal H}$ , pasando a la categoría de rodajas ${\mathcal H}/I$ sobre (la clase de) una proposición $I\in {\mathcal H}$ significa mirar las proposiciones $P\in{\mathcal H}$ sólo para los que $\text{Hom}_{\mathcal H}(P,I)\neq\emptyset$ es decir, los $P$ donde $(P\Rightarrow I)=1$ en ${\mathcal H}$ (" $P$ implica $I$ "). Esto es lo mismo que el álgebra de Heyting adjunta al cálculo lógico modificado que tiene las mismas proposiciones $P,Q,...$ pero en el que una prueba de " $P$ implica $Q$ " es ahora una prueba de " $P$ implica $Q$ bajo la hipótesis de $I$ " (o $P\wedge I\Rightarrow Q$ o $I\vdash P\Rightarrow Q$ en estilo secuencial) en el antiguo cálculo, en lugar de sólo $P\Rightarrow Q$ o $\emptyset\vdash P\Rightarrow Q$ antes.
En general, las propiedades de las categorías de corte de una categoría dada corresponden a qué tipo de lógica se puede interpretar en la categoría.
Por ejemplo, se podría generalizar la lógica intuicionista proposicional de arriba, que se puede interpretar en cualquier álgebra de Heyting, a la lógica intuicionista de predicados de primer orden: Esta última puede verse como una lógica intuicionista proposicional fibrado sobre los posibles contextos de las variables libres con la introducción de variables no utilizadas y la cuantificación que permite el paso entre estos contextos, y en consecuencia puede ser interpretado aproximadamente en cualquier categoría ${\mathcal C}$ en el que para cualquier "contexto" $X\in{\mathcal C}$ los subobjetos de $X$ forman un álgebra de Heyting, y en el que los retrocesos $\pi_X^{\ast}: {\mathcal C}/_{X}\to{\mathcal C}/_{X\times Y}$ (introduciendo variables libres no utilizadas) tiene un adjunto izquierdo $\exists_x$ y un adjunto derecho $\forall_x$ . Por ejemplo, se puede tomar ${\mathcal C}=\text{Set}$ que da la semántica habitual de la lógica de primer orden en los modelos de conjuntos, pero también ${\mathcal C}$ cualquier topos elemental, que da la semántica Kripke-Joyal.
De forma más general, en una categoría ${\mathcal C}$ con límites finitos en los que para cualquier $f: X\to Y$ el functor de retroceso $f^{\ast}: {\mathcal C}/_{Y}\to {\mathcal C}/_{X}$ tiene adyacentes tanto a la izquierda como a la derecha $\exists_f,\forall_f: {\mathcal C}/_{X}\to{\mathcal C}/_{Y}$ (a categoría cerrada localmente cartesiana ), puede interpretar la lógica intuicionista de orden superior.
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