Más información sobre los números de homomorphisms.

Question

Esto está directamente relacionado a esta pregunta, pero debería ser más sencillo: Supongamos que para grupos finitos $G_1$ $G_2,$ sabemos que para cualquier grupo de $H,$ $$|\rm{Hom}(G_1, H)| = |\rm{Hom}(G_2, H)|$$

De lo anterior se sigue que el $G_1 \simeq G_2?$ yo creo que la exigencia de que $H$ es finito no debe hacer es menos cierto, pero lo que funciona para usted.

Answer 1

A mí me parece que esta pregunta puede ser contestada en forma afirmativa usar la misma idea (de Lovász) como que otra pregunta.

Para grupos finitos $G$$H$, vamos a $h(G,H)$ el número de homomorphisms y $s(G,H)$ el número de surjective homomorphisms de$G$$H$.

Considere la posibilidad de un grupo finito $H$. Deje $H_1,\dots,H_n$ ser la adecuada subgrupos de $H$ (o simplemente la máxima). Para $I\subseteq[n]=\{1,\dots,n\}$ deje $H_I=\bigcap_{i\in I}H_i$ si $I\ne\emptyset$, y deje $H_\emptyset=H$. Por el en-y-hacia fuera el principio, para cualquier grupo finito $G$ have$$s(G,H)=\sum_{I\subseteq[n]}(-1)^{|I|}h(G,H_I).$$Therefore, if $G_1$ and $G_2$ are finite groups such that $h(G_1,H)=h(G_2,H)$ for every finite group $H$, it follows that $s(G_1,H)=s(G_2,H)$ for every finite group $H$, and in particular that $s(G_1,G_2)=s(G_2,G_2)\ge1$ and $s(G_2,G_1)=s(G_1,G_1)\ge1$, whence $G_1\cong G_2$.