El volumen de un $d$ hipersfera dimensional de radio $r$ está dada por:
$$V(r,d)=\frac{(\pi r^2)^{d/2}}{\Gamma\left(\frac{d}{2}+1\right)}$$
Lo que me intriga de esto, es que $V\to 0$ como $d\to\infty$ para cualquier $r$ . ¿Cómo puede ser esto? Para los fijos $r$ Habría pensado que añadir una dimensión haría el volumen más grande, pero aparentemente no es así. ¿Alguien tiene una buena explicación?
Sí, aunque ninguno de ellos es tan elegante como la solución oficial de Ethernet Shield y puede que no funcione con todas las placas Arduino.
Una opción es el Módulo ethernet WIZ820io a unos 20 dólares. Hay una gran discusión en los foros de adafruit con respecto a su uso.
Una opción de bricolaje más involucrado es un escudo basado en el barato (sólo $ 3) ENC28J60 . Una entrada en el blog de Open Electronics detalla la construcción y el uso del escudo mientras se puede comprar lo que parece ser un versión completamente ensamblada por unos 26 dólares.
Hay un libro bien revisado implementación del escudo del ENC28J60 de DealExtreme que sale por unos 18 dólares.
DealExtreme tiene otra opción (de nuevo basado en el ENC28J60) que es más pequeño y no es un escudo. La placa viene completamente montada por 10 dólares. Se conecta directamente a los pines SPI del Arduino.
La razón es que la longitud del cubo diagonal llega hasta el infinito.
En cierto sentido, el cubo hace exactamente lo que esperamos. Si las longitudes de sus lados son $1$ tendrá el mismo volumen en cualquier dimensión. Así que tomemos un cubo centrado en el origen con longitudes de lado $r$ . Entonces, ¿cuál es la esfera más pequeña que contiene este cubo? Tendría que tener un radio $r\sqrt{d}$ , por lo que el radio de la esfera requerida va al infinito.
Tal vez esto permita intuir algo.
Esto se discutió a fondo en MO . Cito la respuesta superior:
La razón última es, por supuesto, que la coordenada típica de un punto en la bola unitaria es de tamaño $\frac{1}{\sqrt{n}}\ll 1$ . Esto se puede convertir en un simple argumento geométrico (como sugiere fedja) utilizando el hecho de que un $n$ -El conjunto de elementos tiene $2^n$ subconjuntos:
Al menos $n/2$ de las coordenadas de un punto en la bola unitaria son como máximo $\sqrt{\frac{2}{n}}$ en valor absoluto, y el resto son como máximo $1$ en valor absoluto. Por lo tanto, la bola unitaria puede ser cubierta como máximo por $2^n$ ladrillos (paralelepípedos en ángulo recto) de volumen $$\left(2\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^{n/2},$$ cada uno de ellos correspondiente a un subconjunto para las coordenadas pequeñas. Por lo tanto, el volumen de la bola unitaria es como máximo $$2^n \cdot \left(2\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^{n/2} = \left(\frac{128}{n}\right)^{n/4}\rightarrow0.$$ De hecho, el argumento muestra que el volumen de la bola unitaria disminuye más rápido que cualquier exponencial, por lo que el volumen de la bola de cualquier radio fijo también va a $0$ .
Dejemos que $X_j$ sea una secuencia de variables aleatorias independientes con distribución uniforme en el intervalo $[-r,r]$ (es decir, estás eligiendo una secuencia infinita de números aleatorios del intervalo). La probabilidad de que $(X_1, \ldots, X_d)$ se encuentra en su hiperesfera, es decir, que $R_d = X_1^2 + \ldots + X_d^2 \le r^2$ es $V(r,d)/(2r)^d$ (que al escalar no depende de $r$ Así que llamémoslo $P(d)$ ). Por supuesto $P(d) \to 0$ como $d \to \infty$ pero la cuestión es que va a 0 más rápido que una exponencial en $d$ . De hecho, según la teoría de las grandes desviaciones, para cualquier $t > 0$ deberíamos tener $P(R_d \leq t d) \approx e^{-d I(t)}$ como $d \to \infty$ para alguna función $I(t)$ , donde $I(t) \to \infty$ como $t \to 0+$ .
Considere la distancia desde el centro de la esfera de radio $R$ en $\mathbb{R}^n$ a la esquina del cubo que lo encierra: $R\sqrt{n}$ . Esto es como cubrir la superficie de la esfera con una capa de esquinas altas.
Para $x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ , defina $$ Q(x)=x\frac{|x|}{\max_i|x_i|}\tag{1} $$ $Q$ mapea una esfera a su cubo circundante. Como se ha descrito anteriormente, $\frac{|Q(x)|}{|x|}$ alcanza un máximo de $\sqrt{n}$ en las esquinas. Para ser exactos, $$ \frac{|Q(x)|^2}{|x|^2}=\sum_j\frac{|x_j|^2}{\max_i|x_i|^2}\tag{2} $$ Al considerar cada $x_i$ que se distribuya normalmente y utilizando la homogeneidad de $(2)$ obtenemos que la media de $\frac{|Q(x)|^2}{|x|^2}$ sobre la esfera es $\frac{n+2}{3}$ . Por lo tanto, la media rms de $\frac{|Q(x)|}{|x|}$ es $\sqrt{\frac{n+2}{3}}$ . De este modo, el volumen del cubo se aproxima por $\sqrt{\frac{n+2}{3}}^{\;n}$ veces el volumen de la esfera. Esto crece más rápido que cualquier $R^n$ .
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