Un problema de Teorema del Valor Medio impar

Question

Si $f: [x_1,x_2] \to \mathbb{R}$ es diferenciable, demuestre para algún $c \in (x_1,x_2)$ que $$ \frac{1}{x_1-x_2} \left| \begin{matrix} x_1 & x_2 \\ f(x_1) & f(x_2) \end{matrix} \right|=f(c)-cf'(c) $$

Mi intento: En realidad, si se toma el determinante, se multiplica por un negativo y se lleva a través del denominador a la izquierda, se obtiene $$ x_1f(x_2)-x_2f(x_1)=(-f(c)+cf'(c)) \cdot (x_2-x_1) $$ y esto grita el Teorema del Valor Medio. Así que tomé la función $g(x)=(x_2+x_1-x)f(x)$ que es claramente diferenciable en $[x_1,x_2]$ entonces, por el Teorema del Valor Medio, sabemos que hay un $c \in (x_1,x_2)$ tal que $$ g(x_2)-g(x_1)=g'(c)(x_2-x_1) $$ Pero para nuestra función $g(x)$ Sabemos que $g(x_2)=x_1f(x_2)$ y $g(x_1)=x_2f(x_1)$ . Además, $g'(x)= - f(x) + (x_2+x_1-x)f'(x)$ . Entonces esto da $$ x_1f(x_2)-x_2f(x_1)=(-f(c)+(x_2+x_1-c)f'(c))(x_2-x_1) $$ que se acerca tanto a lo que queríamos mostrar que no veo cómo no podría ser el enfoque correcto. ¿Me he perdido algo o el resultado es falso?

Answer 1

Utilizando Teorema del valor medio de Cauchy con funciones $\frac{f(x)}x$ y $\frac1x$ obtenemos $$ \frac{x_1f(x_2)-x_2f(x_1)}{x_1-x_2}=\frac{\frac{f(x_2)}{x_2}-\frac{f(x_1)}{x_1}}{\frac1{x_2}-\frac1{x_1}} =\frac{\frac{cf'(c)-f(c)}{c^2}}{-\frac1{c^2}}=f(c)-cf'(c) $$ para algunos $c\in[x_1,x_2]$ . Para ello, creo que podemos necesitar que $0\not\in[x_1,x_2]$ .