¿Qué tipo de objeto es el núcleo de un anillo homomorphism?

Question

La categoría de $\mathbf{Grp}$ de los grupos tiene un cero objeto, a saber, el trivial grupo $1$. Desde $\mathbf{Grp}$ es, además, la completa, tenemos la noción de que un núcleo de un grupo homomorphism. El núcleo de un homomorphism $G\xrightarrow{\ f\ }H$ es un monomorphism $\operatorname{Ker}f\xrightarrow{\ker f}G$, lo $\operatorname{Ker}f$ puede ser interpretado como un subgrupo de $G$ con el conjunto subyacente de un subconjunto de a $G$. Es decir, $\operatorname{Ker}f=\{x\in G\mid fx=1\}$.

En la categoría de $\mathbf{Ring}$ de los anillos, no tenemos un cero de objeto y por lo tanto no es natural de la definición de un núcleo. De todos modos, se define el núcleo de un anillo homomorphism $R\xrightarrow{\ f\ }S$ como el conjunto de $\operatorname{Ker}f=\{x\in R\mid fx=0\}$, de manera análoga al caso de (aditivo) grupos. Sin embargo, no es claro para mí, ¿qué tipo de objeto, esto es, es decir, la categoría a la que pertenece.

Me parece mal para pensar en ello como un juego, porque esto no tiene exceso de estructura, es decir, como un (abelian) del grupo. Así que, tal vez, uno debe definir el núcleo de un anillo homomorphism como un grupo abelian (el núcleo del grupo subyacente homomorphism). Pero también esto parece un poco arbitraria, porque uno puede definir fácilmente los Anillos y los núcleos de tal, sin nunca llegar a través de abelian grupos. También, esto no da lugar a una correspondencia uno a uno, ya que no todos los kernel de un homomorphism de subyacente abelian grupos da lugar a un núcleo de un anillo homomorphism.

Por lo tanto, es posible definir un núcleo de un anillo homomorphism sin "salir" de la categoría de los anillos?

El mismo problema viene con todos los ideales. Es un ideal de un conjunto? Un grupo? Un grupo abelian? Un módulo? Un no-unitaria anillo? Si de hecho se define de izquierda ideales de $R$ como submódulos de $R$, desde una perspectiva de izquierda-módulo sobre sí mismo, un derecho ideal como un ideal de a $R^{\operatorname{op}}$ y un dos caras, ideal como izquierda y derecha ideal, ¿cómo esta intuitivamente dar lugar al hecho de que

dos-caras-ideal$\iff$kernel de grupo subyacente homomorphism de algunas anillo homomorphism?

Espero que usted pueda entender el problema que tengo.

Answer 1

Sí. En lugar de tomar el kernel se puede tomar el kernel par. En general, el núcleo par de morfismos es un intento de recuperar un universal de la relación de equivalencia compatible con que morfismos. Si $f : R \to S$ es una de morfismos, entonces el núcleo par de $f$ es el retroceso del diagrama de $R \xrightarrow{f} S \xleftarrow{f} R$. En el caso de los anillos, si $f$ ha kernel $I$, entonces este es el anillo

$$\{ (r_1, r_2) \in R \times R : r_1 \equiv r_2 \bmod I \}.$$

Este tipo de objeto se denomina congruencia en álgebra universal, y debe ser pensado como una relación de equivalencia interna a la categoría de anillos. Una forma de estado uno de los teoremas de isomorfismo es que $f$ es surjective el fib es el coequalizer de las dos proyecciones de su núcleo par de a $R$, o, equivalentemente, el fib es un eficaz epimorphism.

Para grupos, abelian grupos y anillos, la capacidad de tomar inversos (en el tercer caso, para la suma) resulta implica que puede sustituir el estudio de kernel pares con el estudio de núcleos (en el tercer caso, en el precio de salir de la categoría, como se dio cuenta). Pero cuando usted no puede hacer esto, usted realmente necesita para buscar en el kernel de pares; por ejemplo, si usted empezar a estudiar monoids o semirings.

Ver esta entrada del blog para un no categórico introducción a la idea de la interna de las relaciones de equivalencia y de estos tres puestos para las variaciones en la relación entre el núcleo y el cokernel pares y varios sabores de monomorphism y epimorphism. Por ejemplo, con ninguna de las hipótesis en la categoría, una de morfismos es un monomorphism iff su núcleo par existe y es trivial y, doblemente, una epimorphism iff su cokernel par (el kernel par en el frente de la categoría) existe y es trivial.

Answer 2

A la izquierda ideal de un anillo de $R$ es sólo una izquierda $R$-submódulo de $R$. Por lo tanto, la categoría natural en el que los ideales de la izquierda en vivo es la categoría de la izquierda módulos. El último tiene un cero de objeto y los núcleos pueden ser computados como de costumbre. Si $f : R \to S$ es un homomorphism de los anillos, puede ver $S$ como una izquierda $R$-módulo a través de $r s := f(r) s$, por lo que el $f$ se convierte en un homomorphism de izquierda $R$-módulos y el núcleo de este homomorphism (en la categoría de la izquierda $R$-módulos) es lo que se suele llamar el núcleo del anillo homomorphism de $f$. Del mismo modo que podemos lidiar con el derecho de los ideales. Y para dos caras de ideales trabajamos con la categoría de $(R,R)$-bimodules y observar que cada anillo homomorphism $R \to S$ induce un $(R,R)$-bimodule estructura en $S$. Por cierto, todas estas definiciones también funciona cuando reemplazamos $\mathsf{Ab}$ por cualquier abelian tensor de la categoría. Por ejemplo, (cuasi coherente) ideal poleas también encajan en esta imagen.