En el triángulo $ABC$ el ángulo de $\angle C= 30^\circ$. Si $D$ es un punto en el $AC$,e $E$ es un punto en el $BC$ tal que $AD=BE=AB$.cómo probar que $OI=DE$, y como para demostrar que $OI\perp DE$ donde $O$ es el circuncentro, y $I$ es el incentro.
Respuestas
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1. Considere la posibilidad de un círculo de radio $|OI|$ con el centro en $I$. Deje $OG || BC$$OJ || AC$. También se $|KC|=|KA|$.
Podemos escribir que $|OJ|=2|KF|=2|AK|-2|AF|=|AC|-(|AB|+|AC|-|BC|)=|BC|-|AB| \ \ ^{*)}$.
Como $|AB|=|BE| \Rightarrow |OJ|=|CE|$. Del mismo modo, podemos demostrar que $|OG|=|CD|$.
$\angle GOJ =\angle ECD, |OJ|=|CE|, $|OG|=|CD|$ \Rightarrow \triangle GOJ =\triangle ECD $.
Radio de circimcircle de $\triangle GOJ$ es igual al radio de circimcircle de $\triangle ECD \Rightarrow |HE|=|HD|=|OI|$.
$\angle ECD = 30^\circ \Rightarrow \angle EHD=60^\circ \Rightarrow \triangle EHD$ - equilátero y |DE|=|OI|.
2. $OL$ es una línea tangente a un círculo en el punto de $O$. A continuación,$\angle GJO =\angle GOL$.
Como $\triangle GOJ =\triangle ECD \Rightarrow$ $\angle CED =\angle GOL$.
Pero $GO||BC$, por lo que tenemos que $OL||DE$
Como la tangente de la línea de $OL\perp OI \Rightarrow DE\perp OI$. Y es cierto para cualquier $\angle C$.
Ambas fotos para el caso de al$|AB|<|BC|$$|AB|<|AC|$. Otros casos - de manera similar.
Todo lo que necesitamos - demostrar que $\triangle GOJ =\triangle ECD$.
$^{*)}$ UPD Para clarificar $|OJ|=2|KF|=2|AK|-2|AF|=|AC|-(|AB|+|AC|-|BC|)=|BC|-|AB|$
una. $OK \perp AB$ $O$ es el circuncentro. Es por eso $OKWF$ rectángulo y $|OJ|=2|KF|$. (ver comentarios).
b. Como I es el incentro $\Rightarrow |AF|=|AM|,|CF|=|CN|,|BM|=|BN| \Rightarrow $
$\Rightarrow |AB|+|AC|+|BC| = 2|AF|+|CF|+|CN|+|BM|+|BN|$.
$|CF|+|BM|=|CN|+|BN|=|BC| \Rightarrow$
$\Rightarrow |AB|+|AC|+|BC| = 2|AF|+2|BC| \Rightarrow $
$\Rightarrow 2|AF|=|AB|+|AC|-|BC|$.
Es interesante que los puntos C,I,E,se encuentra en un círculo (y es cierto para cualquier $\triangle ABC$). Traté de usar este hecho a una simplificación de la prueba, pero no lo he conseguido. Tal vez alguien tenga suerte.
Sawarnik
Puntos
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No hay mucha necesidad de tales extravagantes construcciones. Aquí es cómo lo he hecho:
- Tenga en cuenta que $\triangle BID \cong \triangle BIC$ por SAS criterios, como hemos $BD =BC$$\angle BID = \angle BIC$. Del mismo modo, $\triangle CIE \cong \triangle CIB$. Por lo tanto, $\angle DIE = 360^{^\circ}- 3\angle BIC=90^{^\circ}- \frac{3\angle A}2=45 ^{\circ}$.
Sabemos que $\angle BOC= 2\angle A = 60 ^{\circ}$, lo $\triangle BOC$ es equilátero y, por tanto,$BC=OB$. Por lo tanto $\triangle OBD$ es isósceles así, y tomando nota de que $\angle OBA=90^{\circ}-\angle C$,$\angle ODB= \frac{90^{\circ}+\angle C}2$. Como $\angle IDB= \frac{\angle C}2$, llegamos a la conclusión de que $\angle ODI = \angle ODB - \angle IDB=45^{\circ}$ y de manera similar a $\angle OEI = 45^{\circ}$.
Por lo tanto $DO \perp IE$, e $EO \perp DI$, lo que significa que $O$ es el ortocentro de $\triangle IDE$, y por lo tanto tenemos que $IO\perp DE$. Utilizando el hecho de que $O$ es el ortocentro, que finalmente también ha $ OI= DE\cdot \cot \angle DIE=DE$.
