Encontrar los puntos de intersección en dos círculos

Question

Dado 2 círculos en un plano, ¿cómo calculas los puntos de intersección?

En este ejemplo puedo hacer el cálculo usando los triángulos equiláteros que están descritos por la intersección y los centros de los 2 círculos, sin embargo, necesito una fórmula más general que proporcione las coordenadas de los 2 puntos de intersección C y D, en círculos que no estén colocados tan convenientemente, o que tengan el mismo radio.

Answer 1

Cada círculo se puede describir por una ecuación de la forma $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$, donde $(h,k)$ es el centro del círculo y $r$ es su radio. Dadas las ecuaciones de los dos círculos, expandir los términos al cuadrado y restar las ecuaciones debería producir una ecuación de la recta que pasa por los dos puntos de intersección. Resolver eso para $x$ o $y$ y sustituirlo en una de las ecuaciones originales del círculo debería producir las coordenadas de los dos puntos de intersección.

Answer 2

@Isaac: Puedes verificar si los círculos se intersectan comparando la distancia entre los centros de los círculos con la suma de sus radios. Por ejemplo:

$$\max(R_1,R_2) - \min(R_1,R_2) \le AB \le R_1 + R_2 \Rightarrow \text{los círculos se intersectan}$$

$$AB = 0 \text{ y } R_1 = R_2 \Rightarrow \text{los círculos son iguales}$$

En otros casos no hay intersección.