Límite de la secuencia recursiva $a_{n+1} = \frac{a_n}{1- \{a_n\}}$

Question

Consideremos la siguiente secuencia: dejemos que $a_0>0$ sea racional. Definir $$a_{n+1}= \frac{a_n}{1-\{a_n\}},$$ donde $\{a_n\}$ es la parte fraccionaria de $a_n$ (es decir $\{a_n\} = a_n - \lfloor a_n\rfloor$ ). Demostrar que $a_n$ converge, y encontrar su límite.

Podemos demostrar que converge de la siguiente manera: supongamos que $a_n = p_n/q_n = k_n + r_n/q_n$ , donde $p_n = k_nq_n + r_n$ , $0 \leq r_n < q_n$ . Entonces $$a_{n+1} = \frac{p_n/q_n}{1-r_n/q_n} = \frac{p_n}{q_n - r_n},$$ por lo que el denominador seguirá disminuyendo hasta que sea un divisor de $p_0$ (quizás 1). Además, tenga en cuenta que podemos tomar $p_n = p_0$ para todos $n$ .

Además, el límite será $\leq \frac{p_0}{\operatorname{gcf}{(p_0,q_0)}}$ porque si $f \mid p_0$ y $f\mid q_n$ entonces $f\mid (p_0 - k_nq_n)=r_n$ Así que $f \mid q_n - r_n = q_{n+1}$ . Pero el límite puede ser estrictamente menor; por ejemplo, $a_0 = 30/7$ converge enseguida a 6.

¿Podemos decir algo más sobre el límite de una secuencia que comienza con $a_0$ ? Esto fue un problema en un calificador, así que sospecho que hay más en la respuesta, pero tal vez no.

Answer 1

Quería registrar algunas observaciones aquí...

Si consideramos la secuencia

• $p = a_1 q + r_1$
• $p = a_2(q-r_1) + r_2$
• $p = a_3(q-r_1-r_2) + r_3$
• etc.

y tratar de resolver los restos en la forma $r_i = c_i p - d_i q$ hay una bonita relación recursiva:

Primero, $c_1 = 1$ y $d_1 = a_1$ y en general,

$c_j = 1 + a_j (c_1 + \ldots + c_{j-1})$ y $d_j = (1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_{j-1})a_j$

También podemos escribir $c_j(1+a_j) = c_1 + \ldots + c_j$ para que $c_j = 1 + \frac{a_j}{a_{j-1}}(c_{j-1} (1+a_{j-1})-1)$ . Esto se puede ampliar para obtener la forma

$c_j = 1 + a_j [ 1 + (1+a_{j-1}) [ 1 + (1+a_{j-2}) [ 1 + \ldots [1 + (1+a_2)]]\ldots]$ o incluso

$c_j = 1+a_j + a_j(1+a_{j-1}) + a_j(1+a_{j-1})(1+a_{j-2}) + \ldots + a_j(1+a_{j-1})(1+a_{j-2})\cdots(1+a_2)$

Tenga en cuenta que el $a_i$ son estrictamente crecientes en la secuencia. Supongamos que el procedimiento termina en el $n$ -ésima etapa (cuando $r_n=0$ ). El límite es entonces $p/a_n$ y $0 = r_n = c_n (p/q) - d_n$ o que $p/q = d_n / c_n$ .

Todavía no tengo una expresión de forma cerrada, pero por ejemplo

Para los racionales $p/q$ para los que la secuencia termina en el primer paso, $0 = r_1 = c_1 (p/q) - d_1 = p/q - a_1$ para que $q$ es un divisor de $p$ y el límite es $p/q$ .

Para la terminación en el segundo paso, $0 = r_2 = c_2 (p/q) - d_2 = (1+a_2)(p/q) - (1+a_1)a_2$ o que $\frac{p}{q} = \frac{(1+a_1)a_2}{1+a_2}$ . Si existe $a_1 < a_2$ que satisface esta igualdad, entonces la secuencia termina en el segundo paso. Uno de estos criterios es si $d$ es un divisor de $p$ , $q = d+1$ y $p/d - 1 < d$ entonces la secuencia termina en el segundo paso a $p/d = (1+a_1)$ .

Por ejemplo: $30/7 = (1+4)6/(1+6)$ . También, $30/4 = 120/16 = (1+7)15/(1+15)$ .

Terminación del tercer paso: $\frac{p}{q} = \frac{ (1+a_1)(1+a_2)a_3 }{ 1 + a_3(1+(1+a_2)) }$ El límite es $(1+a_1)(1+a_2)$ y etc.

Además, parece que si se conecta $a_n = d$ en cualquier fórmula, puede generar para que $p$ el proceso converge a $d$ sustituyendo cualquier $a_1 < a_2 < \ldots < a_{n-1} < d$ . Tal vez haya una estructura más especial...

Answer 2

Dejemos que $n\in\Bbb N$ , $q_i$ para $0\leq i\leq n$ sea una secuencia no decreciente de enteros positivos y \begin {align} &a_0= \left ( \sum_ {j=0}^n \frac 1{q_0 \cdots q_j} \right )^{-1}& &a_{i+1}= \frac {a_i}{1-{a_i}} \end {align} Entonces $a_i=q_n$ por cada $i\geq n$ .

Esto se deduce demostrando, por inducción, que para cada $i\leq n$ tenemos $$a_i=\left(\sum_{j=i}^n\frac 1{q_i\cdots q_j}\right)^{-1}\tag 1$$ Esto es claramente cierto para $i=0$ . Suponiendo que $(1)$ entonces claramente $a_i\leq q_i$ . Por otro lado, $j\geq i$ implica $q_j\geq q_i>1$ (el caso $q_i=1$ es trivial), por lo que $$\frac 1{a_i}\leq\sum_{j=i}^n\frac 1{q_i^{j+1}}<\frac 1{q_i-1}$$ de la cual $q_i-1<a_i\leq q_i$ eso es $\lceil a_i\rceil=q_i$ . En consecuencia, \begin {align} a_{i+1} &= \frac {a_i}{1-{a_i}} \\ &= \frac {a_i}{q_i-a_i} \\ &= \left ( \sum_ {j={i+1}}^n \frac1 {q_{i+1} \cdots q_j} \right )^{-1} \\ \end {align} por lo que la afirmación se deduce por inducción en $i$ .

Answer 3

Tu prueba es correcta si a0 es un número racional. No convergerá para números irracionales como e o pi. Asumiendo la racionalidad, no creo que haya una solución de forma cerrada de un número convergente (hasta que, y a menos que, incluyas un comportamiento de tipo bucle y condicional en forma cerrada). Hay una clase de equivalencia de punto convergente dado q0 donde la solución convergerá: la clase de equivalencia son factores (me refiero a todos los factores no sólo factores primos) de p0 incluyendo a sí mismo. Por lo tanto, si p0 es primo convergerá a sí mismo.