La solución de $\frac{1}{\pi}(x \tan x) = \frac{1}{8}$ $x \in [0,\pi]$

Question

¿Cómo puedo resolver: $$ \frac{1}{\pi}(x \tan x) = \frac{1}{8} $$ para $x$ donde$x$$[0,\pi]$?

El problema dice:

"Determinar si la gráfica de la curva de $y = (1/\pi)(x\tan x)$ cruces la línea de $y = (1/8)$ en algún punto de $x$$[0, \pi]$. Justificar la respuesta."

Ya he graficó esto y veo que hay 2 puntos de intersección en torno a ±0.588, mi problema es que no puedo resolver la función numéricamente por lo tanto incapaz de demostrar cómo llegué a la respuesta.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

(Versión grande)

Answer 1

La pregunta sólo pide que para determinar si existe es una solución de la ecuación en $[0,\pi]$, no lo que la solución es. Así que usted puede mostrar que sólo la función de $x\tan (x)/\pi$ es de menos de $1/8$ en algún momento y mayor que $1/8$, en un punto posterior (o viceversa). Entonces, puesto que es continua, esto demuestra que se tomó el valor de $1/8$ en algún punto entre los dos por el teorema del valor intermedio.

Answer 2

SUGERENCIA:

Deje $f$ ser función dada por $f(x)=\frac{1}{\pi}x\tan x-\frac 18$. A continuación, tenga en cuenta que$f(0)=-\frac18$$f(\pi/4)=\frac18$.

Entonces, explotar el Teorema del Valor Intermedio.

Answer 3

Teniendo en cuenta el problema de encontrar la solución de $$\frac{x \tan (x)}{\pi }=\frac{1}{8}$$ you already know that equations which mix polynomial and trigonometric terms do not show analytical solutions (this is already the case for $x=\cos(x)$): a continuación, sólo métodos numéricos será capaz de encontrar la raíz.

Así, consideremos la función $$f(x)=\frac{x \tan (x)}{\pi }-\frac{1}{8}$$ As Dr. MV answered, the solution is clearly between $0$ and $\frac \pi 4$. So, let us use Newton method which, starting from a "reasonable" guess $x_0$, will update it according to $$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$ In this case $$f'(x)=\frac{\tan (x)}{\pi }+\frac{x \sec ^2(x)}{\pi }$$ Applied to the problem, this will give (after minor simplifications) $$x_{n+1}=\frac{8 x_n^2 \sec (x_n)+\pi \cos (x_n)}{8 (\sin (x_n)+x_n \sec (x_n))}$$ So, just using what Dr. MV pointed out, let us start iterating using $x_0=\frac \pi 8$. Newton method will then generate the following iterates $$x_1=0.6558131726$$ $$x_2=0.5941110244$$ $$x_3=0.5885043829$$ $$x_4=0.5884623151$$ $$x_5=0.5884623128$$ cual es la solución para las diez cifras significativas.

Una cosa que usted podría encontrar interesante es que, utilizando el mismo método y punto de partida para la solución de lugar $$g(x)=\frac{x \sin (x)}{\pi }-\frac{\cos (x)}{8}$$ would lead to the following iterates $$x_1=0.6299556633$$ $$x_2=0.5894960785$$ $$x_3=0.5884630152$$ $$x_4=0.5884623128$$

Editar

Podríamos haber trabajado el problema de obtener un mejor valor inicial $x_0$; esto reduciría el número de iteraciones requeridas por el método de Newton.

Por ejemplo, sabiendo que la solución es bastante pequeñas, el uso de expansión de Taylor alrededor de $x=0$ da $\tan(x)=x+\frac{x^3}{3}+O\left(x^4\right)$. Así, para el cálculo, la solución de $$\frac{x(x+\frac{x^3}{3})} \pi=\frac 18$$ which is a quadratic equation is $x^2$; solving it would give as an estimate $$x_0=\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{6 (6+\pi )}-6}\approx 0.592885$$ Something similar would have been obtained approximating $\tan(x)\approx \frac{x}{1-\frac{x^2}{3}}$ (this simplest Padé approximant) which would give a similar extimate $$x_0=\sqrt{\frac{3 \pi }{24+\pi }} \approx 0.589275$$ el Uso de estos, el método de Newton requeriría sólo un par de iteraciones para diez cifras significativas.