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La solución de 1π(xtanx)=18 x[0,π]

¿Cómo puedo resolver: 1π(xtanx)=18 para x dondex[0,π]?

El problema dice:

"Determinar si la gráfica de la curva de y=(1/π)(xtanx) cruces la línea de y=(1/8) en algún punto de x[0,π]. Justificar la respuesta."

Ya he graficó esto y veo que hay 2 puntos de intersección en torno a ±0.588, mi problema es que no puedo resolver la función numéricamente por lo tanto incapaz de demostrar cómo llegué a la respuesta.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

graph of y (Versión grande)

13voto

Matt Dickau Puntos 1138

La pregunta sólo pide que para determinar si existe es una solución de la ecuación en [0,π], no lo que la solución es. Así que usted puede mostrar que sólo la función de xtan(x)/π es de menos de 1/8 en algún momento y mayor que 1/8, en un punto posterior (o viceversa). Entonces, puesto que es continua, esto demuestra que se tomó el valor de 1/8 en algún punto entre los dos por el teorema del valor intermedio.

9voto

Dr. MV Puntos 34555

SUGERENCIA:

Deje f ser función dada por f(x)=1πxtanx18. A continuación, tenga en cuenta quef(0)=18f(π/4)=18.

Entonces, explotar el Teorema del Valor Intermedio.

6voto

Claude Leibovici Puntos 54392

Teniendo en cuenta el problema de encontrar la solución de xtan(x)π=18 you already know that equations which mix polynomial and trigonometric terms do not show analytical solutions (this is already the case for x=cos(x)): a continuación, sólo métodos numéricos será capaz de encontrar la raíz.

Así, consideremos la función f(x)=xtan(x)π18 As Dr. MV answered, the solution is clearly between 0 and π4. So, let us use Newton method which, starting from a "reasonable" guess x0, will update it according to xn+1=xnf(xn)f(xn) In this case f(x)=tan(x)π+xsec2(x)π Applied to the problem, this will give (after minor simplifications) xn+1=8x2nsec(xn)+πcos(xn)8(sin(xn)+xnsec(xn)) So, just using what Dr. MV pointed out, let us start iterating using x0=π8. Newton method will then generate the following iterates x1=0.6558131726 x2=0.5941110244 x3=0.5885043829 x4=0.5884623151 x5=0.5884623128 cual es la solución para las diez cifras significativas.

Una cosa que usted podría encontrar interesante es que, utilizando el mismo método y punto de partida para la solución de lugar g(x)=xsin(x)πcos(x)8 would lead to the following iterates x1=0.6299556633 x2=0.5894960785 x3=0.5884630152 x4=0.5884623128

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Podríamos haber trabajado el problema de obtener un mejor valor inicial x0; esto reduciría el número de iteraciones requeridas por el método de Newton.

Por ejemplo, sabiendo que la solución es bastante pequeñas, el uso de expansión de Taylor alrededor de x=0 da tan(x)=x+x33+O(x4). Así, para el cálculo, la solución de x(x+x33)π=18 which is a quadratic equation is x2; solving it would give as an estimate x0=126(6+π)60.592885 Something similar would have been obtained approximating tan(x)x1x23 (this simplest Padé approximant) which would give a similar extimate x0=3π24+π0.589275 el Uso de estos, el método de Newton requeriría sólo un par de iteraciones para diez cifras significativas.

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